【分析】
要找双曲线$y=\frac{4}{x}$上横、纵坐标均为整数的点，首先可将反比例函数表达式变形为$xy=4$，此时问题转化为找所有乘积为4的整数对$(x,y)$，需同时考虑正整数和负整数两种情况，逐一枚举符合条件的整数对后统计个数即可。
【解析】
由反比例函数$y=\frac{4}{x}$可得$xy=4$。
因为点的横、纵坐标都是整数，所以$x$是4的整数因数：
当$x$为正整数时：
$x=1$，$y=4$，对应点$(1,4)$；
$x=2$，$y=2$，对应点$(2,2)$；
$x=4$，$y=1$，对应点$(4,1)$；
当$x$为负整数时：
$x=-1$，$y=-4$，对应点$(-1,-4)$；
$x=-2$，$y=-2$，对应点$(-2,-2)$；
$x=-4$，$y=-1$，对应点$(-4,-1)$；
综上，符合条件的点共有6个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 整数解枚举
【点评】
本题主要考查反比例函数表达式的灵活变形，解题时需注意不要遗漏负整数的情况，全面枚举所有符合条件的整数对即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题是一次函数与反比例函数图像共存的判断问题，解题核心思路是根据参数k的正负性分类讨论，结合两个函数共用参数k、符号一致的特点，分别推导不同k值下两类函数的图像特征，逐一比对选项排除矛盾项即可得到答案。
【解析】
我们分两种情况讨论参数k的取值：
1. 当$\boldsymbol{k＞0}$时：
一次函数$y=kx+k$：斜率为正，图像呈上升趋势，且截距$k＞0$，与y轴交于正半轴，因此图像过第一、二、三象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$：$k＞0$时图像位于第一、三象限。
观察选项，没有同时符合上述特征的选项，因此$k＞0$的情况不成立。
2. 当$\boldsymbol{k＜0}$时：
一次函数$y=kx+k$：斜率为负，图像呈下降趋势，且截距$k＜0$，与y轴交于负半轴，因此图像过第二、三、四象限；
反比例函数$y=\frac{k}{x}$：$k＜0$时图像位于第二、四象限。
逐一验证选项：
A选项一次函数与y轴交于正半轴，不符合；
B选项一次函数过第二、三、四象限，反比例函数位于第二、四象限，完全符合特征；
C选项一次函数呈上升趋势（斜率为正），不符合；
D选项反比例函数位于第一、三象限，不符合。
综上只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图像与性质；反比例函数的图像与性质
【点评】
本题是函数图像判断的典型基础题，除了分类讨论的方法外，也可利用一次函数$y=kx+k$恒过定点$(-1,0)$的特征辅助快速排除错误选项，解题时注意两个函数参数的一致性即可。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 求反比例函数的系数k，可直接利用待定系数法，将已知在双曲线上的点(2,6)代入解析式$y=\frac{k}{x}$，计算即可得到k的值。
(2) 先根据点M、N的坐标判断线段MN垂直于x轴，若$MP=NP$，说明P是线段MN的中点，可先求出P点的纵坐标，再结合P在双曲线上，将P点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m的值。
【解析】
(1) 已知双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$经过点$(2,6)$，将$x=2$，$y=6$代入解析式得：
$6=\frac{k}{2}$，解得$k=2×6=12$。
(2) 因为点$M(m,0)$，点$N(m,6)$横坐标相同，所以线段$MN⊥ x$轴。
又因为$MP=NP$，所以P为线段MN的中点，因此P点的纵坐标为$\frac{0+6}{2}=3$，横坐标与M、N相同为$m$，即$P(m,3)$。
因为P在双曲线$y=\frac{12}{x}$上，将$x=m$，$y=3$代入得：
$3=\frac{12}{m}$，解得$m=\frac{12}{3}=4$。
【答案】
(1) $\boxed{12}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数系数，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点的性质
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，侧重对基础概念和性质的考查，解题关键是熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式，结合线段中点的坐标特征即可快速求解。
【难度系数】
0.85

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，已知反比例函数图象经过某点，根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点的横纵坐标代入解析式即可求出k的值；第二步，反比例函数的图象所在象限由k的符号决定，结合求出的k的正负即可判断图象位置；第三步，根据k的符号对应的反比例函数增减性规律，即可判断x减小时y的变化情况。
【解析】
1. 求k的值：
将点$(3,-4)$代入$y=\frac{k}{x}$，把$x=3$，$y=-4$代入得：
$-4=\frac{k}{3}$，解得$k=3×(-4)=-12$。
2. 判断图象所在象限：
因为$k=-12＜0$，根据反比例函数的性质，当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
3. 判断增减性：
当$k＜0$时，反比例函数在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x$减小时，$y$随$x$的减小而减小。
【答案】
$-12$；二、四；减小
【知识点】
反比例函数的点坐标特征；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础题，主要考察反比例函数解析式的确定、图象位置和增减性的判断，牢记k的符号与反比例函数性质的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
首先，正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，已知AB=10，可得OA的长度为AB的一半，即5；又已知AE垂直x轴且AE=4，在Rt△OAE中利用勾股定理可求出OE的长度，进而得到点A的坐标；最后将点A坐标分别代入两个函数解析式求出k₁、k₂的值，计算乘积即可得到结果。
【解析】
解：
∵正比例函数$y_1=k_1x$和反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象交点A、B关于原点对称，
∴$OA=OB=\frac{1}{2}AB$，
∵AB=10，
∴OA=5，
∵AE⊥x轴，AE=4，∠AEO=90°，
∴在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴点A的坐标为$(3,4)$，
将A(3,4)代入$y_1=k_1x$得：$4=3k_1$，解得$k_1=\frac{4}{3}$，
将A(3,4)代入$y_2=\frac{k_2}{x}$得：$4=\frac{k_2}{3}$，解得$k_2=12$，
∴$k_1k_2=\frac{4}{3}×12=16$。
【答案】
16
【知识点】
1. 正反比例函数交点性质
2. 勾股定理
3. 函数系数求解
【点评】
本题是正反比例函数性质与勾股定理的综合基础题，解题核心是利用两类函数交点关于原点对称的性质得到OA的长度，进而求出交点坐标代入解析式计算，思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题可按三步思考：第一步，已知点P在反比例函数图象上，可先求出反比例函数的定值k，反比例函数图象上任意点的横纵坐标乘积都等于k；第二步，观察四边形ACQE的形状，由各线垂直于坐标轴的特征可知它是矩形，面积等于相邻两边的乘积，将边长用m、n表示后，结合mn=k的定值特征化简面积表达式；第三步，根据反比例函数的增减性，分析m增大时n的变化，进而判断面积的变化趋势。
【解析】
1. 求反比例函数的k值：
∵ 点$P(1,4)$在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 代入得$k=1×4=4$，即反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$。
∵ 点$Q(m,n)$在该反比例函数图象上，
∴ $mn=4$。
2. 表示四边形ACQE的面积：
由题意可知，$PA⊥ x$轴，$QC⊥ x$轴，$QD⊥ y$轴，因此四边形ACQE的四个角均为直角，是矩形。
矩形的水平边长$AC = OC - OA = m - 1$，竖直边长为$CQ = n$，
则四边形ACQE的面积$S = AC × CQ = (m-1)n = mn - n$。
将$mn=4$代入，得$S = 4 - n$。
3. 分析面积的变化趋势：
∵ 反比例函数$y=\frac{4}{x}$中$k=4＞0$，在$x＞0$的范围内，y随x的增大而减小。
当$m＞1$时，m增大，对应的$n=\frac{4}{m}$减小，
∴ $S=4-n$随n的减小而增大，即随着m的增大，四边形ACQE的面积增大。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的常考题型，解题核心是利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值的特征，将所求面积转化为便于分析增减性的表达式，再结合反比例函数的增减性即可判断变化趋势。
【难度系数】
0.7