反比例函数$y=\frac{1-m}{x}$的图象如图所示，以下结论正确的是（
D
）
① 常数$m＜1$；
② $y$随$x$的增大而减小；
③ 若$A$为$x$轴上一点，$B$为反比例函数图象上一点，则$S_{△ ABO}=\frac{1-m}{2}$；
④ 若$P(x,y)$在图象上，则$P'(-x,-y)$也在图象上。
A.①②③
B.①③④
C.①②③④
D.①④
答案：解:由图象可知,反比例函数$y=\dfrac{1-m}{x}$的图象在一、三象限,则$1-m＞0$,得$m＜1$,故①正确;由图象可知,反比例函数$y=\dfrac{1-m}{x}$在每个象限内y随x的增大而减小,故②错误;设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为$(b,\dfrac{1-m}{b})$,则$S_{△ ABO}=\dfrac{|a|× \left|\dfrac{1-m}{b}\right|}{2}=\left|\dfrac{a-am}{2b}\right|$,故③错误;因为反比例函数的图象关于原点对称,故若$P(x,y)$在图象上,则$P'(-x,-y)$也在图象上,故④正确.由上可得,结论正确的是①④,故选D.
解析：
【分析】
解决这道题需要结合反比例函数的图象性质逐一判断4个结论：
1. 先根据图象所在的一、三象限，确定比例系数1-m的符号，即可判断①是否正确；
2. 回忆反比例函数增减性的表述前提是“在每个象限内”，据此判断②的正误；
3. 结合三角形面积公式和反比例函数k的几何意义的适用条件，注意题目中A是任意x轴上的点，不是B向x轴作垂线的垂足，即可判断③；
4. 利用反比例函数的中心对称性，或者代入解析式验证，判断④是否正确，最后选出正确的选项。
【解析】
解：① 由图象可知，反比例函数图象位于第一、三象限，因此比例系数$1-m＞0$，解得$m＜1$，故①正确；
② 反比例函数的增减性是在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，缺少“每个象限内”的前提，跨象限比较时该结论不成立，故②错误；
③ 设点A的坐标为$(a,0)$，点B的坐标为$(b,\frac{1-m}{b})$，则$△ ABO$的面积$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×|OA|×|y_B|=\frac{1}{2}×|a|×|\frac{1-m}{b}|$，由于A是任意x轴上的点，$a$为任意实数，因此面积不是固定值$\frac{1-m}{2}$，只有当A是B向x轴作垂线的垂足时该结论才成立，故③错误；
④ 若$P(x,y)$在图象上，则$xy=1-m$，将$P'(-x,-y)$代入反比例函数关系，得$(-x)×(-y)=xy=1-m$，满足解析式，因此$P'$也在图象上，故④正确。
综上，正确的结论是①④，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题主要考查反比例函数的基础性质，易错点有两个：一是增减性的表述必须强调在同一象限内，二是k的几何意义仅适用于过反比例函数上的点向坐标轴作垂线形成的直角三角形，审题时要注意点的限定条件。
【难度系数】
0.6
1. 已知某矩形的面积为20 cm²，回答下列问题：
（1）矩形的长 y 与宽 x 之间的函数解析式为
$y=\frac{20}{x}$
.
（2）当矩形的长为 12 cm 时，宽为多少？当矩形的宽为 4 cm 时，长为多少？
（3）如果要求矩形的长不小于 8 cm，其宽至多为多少？
答案：1. (1) $y=\frac{20}{x}$；(2) $\frac{5}{3}\ \mathrm{cm},5\ \mathrm{cm}$；(3) $\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$
解析：
【分析】
解题思路可分为三步：① 第一问根据矩形面积公式“面积=长×宽”，已知面积为定值20cm²，将公式变形即可得到长y与宽x的函数解析式，注意宽为正数，符合实际意义；② 第二问是已知函数值求自变量、已知自变量求函数值的基础题型，将对应数值代入第一问得到的解析式计算即可；③ 第三问根据“长不小于8cm”的限制条件列出不等式，结合宽x＞0的前提解不等式，即可得到宽的最大值。
【解析】
（1）由矩形面积公式得：$xy=20$，因为宽$x＞0$，变形可得函数解析式为$y=\frac{20}{x}$；
（2）当长$y=12\ \mathrm{cm}$时，代入$y=\frac{20}{x}$得：$12=\frac{20}{x}$，解得$x=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$；
当宽$x=4\ \mathrm{cm}$时，代入$y=\frac{20}{x}$得：$y=\frac{20}{4}=5\ \mathrm{cm}$；
（3）由题意得长$y≥8\ \mathrm{cm}$，即$\frac{20}{x}≥8$，因为$x＞0$，不等式两边同时乘$x$不等号方向不变，得$20≥8x$，解得$x≤\frac{20}{8}=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，即宽至多为$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $y=\frac{20}{x}$；(2) $\frac{5}{3}\ \mathrm{cm},5\ \mathrm{cm}$；(3) $\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
反比例函数实际应用、函数代入求值、不等式求解
【点评】
本题结合矩形面积的实际场景考查反比例函数的基础应用，难度较低，解题时需注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，避免出现无意义的负数解。
【难度系数】
0.8
2. 一定质量的氧气,它的密度$\rho(\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3)$是它的体积$V(\mathrm{m}^3)$的反比例函数,当$V=10$时,$\rho=1.43$.
(1) 求$\rho$与$V$的函数解析式;
(2) 求当$V=2$时氧气的密度$\rho$.
答案：2. (1) $\rho=\frac{14.3}{V}$；(2) $\rho=7.15\ \mathrm{kg/m}^3$
解析：
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：①对于第(1)问，题目明确说明ρ是V的反比例函数，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，因此可设$\rho=\frac{k}{V}$，再将已知的V和ρ的对应值代入解析式，即可求出待定系数k的值，进而得到函数解析式；②对于第(2)问，只需将V=2代入第(1)问求出的解析式中，计算即可得到对应的ρ的值。
【解析】
(1) 已知ρ是V的反比例函数，设$\rho=\frac{k}{V}$（$k≠0$，且体积$V＞0$）。
将$V=10$，$\rho=1.43$代入所设解析式，得：
$1.43=\frac{k}{10}$
解得$k=1.43×10=14.3$
因此ρ与V的函数解析式为$\rho=\frac{14.3}{V}$（$V＞0$）。
(2) 将$V=2$代入$\rho=\frac{14.3}{V}$，得：
$\rho=\frac{14.3}{2}=7.15$（$\mathrm{kg/m}^3$）
【答案】
(1) $\rho=\frac{14.3}{V}$；(2) $\rho=7.15\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 函数值计算
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，解题关键是明确反比例函数的表达形式，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再代入对应数值计算即可，整体考察内容比较基础。
【难度系数】
0.85
