问题 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 $ p $（kPa）是气体体积 $ V $（$ \mathrm{m}^3 $）的反比例函数，其图象如图所示。
（1）求出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积是 $ 0.8 \, \mathrm{m}^3 $ 时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于 144 kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
名师指导
（1）已知变量 $ p $ 与 $ V $ 是反比例函数关系，并且图象经过点 $ A $，利用待定系数法可以求出 $ p $ 与 $ V $ 的函数解析式。
（2）直接将体积 $ V = 0.8 $ 代入解析式即可。
（3）当 $ p $ 大于 144 kPa 时，气球会爆炸，即当 $ p $ 不超过 144 kPa 时是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，$ p $ 随 $ V $ 的增大而减小，可先求出气压 $ p = 144 \, \mathrm{kPa} $ 时所对应的气体体积。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
答案：解：
(1) 设这个反比例函数的解析式为 $p=\frac{k}{V}(k≠0, V＞0)$。
将点 $A(1.5, 64)$ 代入解析式，得：
$64=\frac{k}{1.5}$
解得 $k=1.5×64=96$。
∴ 这个函数的解析式为 $p=\frac{96}{V}(V＞0)$。
(2) 把 $V=0.8$ 代入 $p=\frac{96}{V}$，得：
$p=\frac{96}{0.8}=120$
∴ 此时气球内的气压是120 kPa。
(3) 由题意可知，安全条件为 $p≤144$，即：
$\frac{96}{V}≤144$
∵ $V＞0$，不等式两边同乘$V$，不等号方向不变，得：
$96≤144V$
解得 $V≥\frac{2}{3}$。
答：(1) 该函数解析式为 $p=\frac{96}{V}(V＞0)$；(2) 气球体积为$0.8\ \mathrm{m}^3$时，气球内的气压是120千帕；(3) 为了安全起见，气球的体积应不小于$\frac{2}{3}$立方米。
解析：
【分析】
这是反比例函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：（1）题目明确气压p与体积V为反比例函数关系，先设出反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$，再将图象上已知点A的坐标代入表达式，求解得到k的值，即可确定函数解析式；（2）第二问已知气体体积$V=0.8\ \mathrm{m}^3$，直接将V代入第一问求出的函数解析式，计算即可得到对应的气压值；（3）第三问要保证气球安全，需满足气压$p≤144\ \mathrm{kPa}$，结合反比例函数p随V增大而减小的性质，列不等式求解，注意气体体积V始终为正数，解不等式时不等号方向不变，即可得到体积的最小取值。
【解析】
(1) 设这个反比例函数的解析式为 $p=\frac{k}{V}(k≠0, V＞0)$。
将点 $A(1.5, 64)$ 代入解析式，得：
$64=\frac{k}{1.5}$
解得 $k=1.5×64=96$。
∴ 这个函数的解析式为 $p=\frac{96}{V}(V＞0)$。
(2) 把 $V=0.8$ 代入 $p=\frac{96}{V}$，得：
$p=\frac{96}{0.8}=120$
∴ 此时气球内的气压是120 kPa。
(3) 由题意可知，安全条件为 $p≤144$，即：
$\frac{96}{V}≤144$
∵ $V＞0$，不等式两边同乘$V$，不等号方向不变，得：
$96≤144V$
解得 $V≥\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 函数解析式为 $p=\frac{96}{V}(V＞0)$；
(2) 当气球体积为$0.8\ \mathrm{m}^3$时，气球内的气压是120千帕；
(3) 为了安全起见，气球的体积应不小于$\frac{2}{3}$立方米。
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法，解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的基础应用，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式的方法，同时要结合自变量的实际意义求解取值范围，整体考查内容基础，贴近生活，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
1. 如图(1)是一个可改变容积的密闭容器的简易图,在该容器内装有一定质量的氧气,当改变容器的容积时,气体的密度也会随之改变.随着容器容积的改变,该密闭容器内氧气的密度ρ(单位:kg/m³)随氧气体积V(单位:m³)变化的关系图象如图(2)所示.结合图(3)信息窗中的内容,下列说法不正确的是 (
C
)
A.当该容器内氧气体积V为25 m³时,氧气的密度ρ为0.32 kg/m³
B.该容器内氧气的密度ρ是体积V的反比例函数
C.标准大气压下,该容器内氧气的体积约为4.59 m³
D.该容器内氧气的质量为8 kg
答案：1. C
解析：
【分析】
解题首先要明确：密闭容器内氧气质量固定，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$可得$m=\rho V$为定值，因此密度$\rho$是体积$V$的反比例函数。我们首先从图像中提取已知的$\rho$、$V$对应值，计算出氧气质量，得到$\rho$与$V$的函数解析式，再逐一验证四个选项，选出说法错误的选项即可。
【解析】
∵ 密闭容器内氧气质量$m$不变，由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$可得$m=\rho V$，因此$\rho$是$V$的反比例函数，故B选项正确，不符合题意。
由图(2)可知，当$V=4\mathrm{m^3}$时，$\rho=2\mathrm{kg/m^3}$，代入得氧气质量$m=\rho V=4\mathrm{m^3}×2\mathrm{kg/m^3}=8\mathrm{kg}$，故D选项正确，不符合题意，因此$\rho$与$V$的函数解析式为$\rho=\frac{8}{V}$（$V＞0$）。
对A选项：当$V=25\mathrm{m^3}$时，代入解析式得$\rho=\frac{8}{25}=0.32\mathrm{kg/m^3}$，故A正确，不符合题意。
对C选项：标准大气压下氧气密度$\rho=1.43\mathrm{kg/m^3}$，代入解析式得$V=\frac{8}{1.43}\approx5.59\mathrm{m^3}$，而非$4.59\mathrm{m^3}$，故C错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数实际应用，密度公式，图像信息提取
【点评】
本题结合物理密度知识考查反比例函数的实际应用，解题核心是先根据质量不变确定反比例函数的解析式，再结合给定条件逐一验证选项，需注意跨学科知识的结合，保证计算的准确性。
【难度系数】
0.7
