环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标. 整改过程中,所排污水中硫化物的浓度 y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段 AB 表示前 3 天的变化规律,从第 3 天起,所排污水中硫化物的浓度 y 与时间 x 成反比例关系.
(1) 求整改过程中硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式;
(2) 该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在 15 天以内不超过最高允许的1.0 mg/L? 为什么?
答案：解:(1) 当 $0≤ x≤ 3$ 时,设线段 AB 对应的函数解析式为 $y=kx+b$. 把 $A(0,10),B(3,4)$ 代入得 $\begin{cases}b=10,\\3k+b=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2,\\b=10.\end{cases}$ 所以 $y=-2x+10$. 当 $x＞3$ 时,设 $y=\frac{m}{x}$,把 $B(3,4)$ 代入得 $\frac{m}{3}=4,\therefore\ m=12$, $\therefore\ y=\frac{12}{x}$. 综上所述, $y=\begin{cases}-2x+10(0≤ x≤ 3),\\\frac{12}{x}(x＞3).\end{cases}$
(2) 能. 令 $y=\frac{12}{x}=1$,则 $x=12＜15$. 所以该企业所排污水中硫化物的浓度能在 15 天内达标.
解析：
【分析】
本题考查分段函数的实际应用，解题思路如下：
1. 求解函数表达式：观察图像可知函数分两段，①当$0≤ x≤3$时，图像为线段AB，属于一次函数，采用待定系数法，设解析式为$y=kx+b$，代入已知点$A(0,10)$、$B(3,4)$即可求出系数，得到该段解析式；②当$x＞3$时，y与x成反比例关系，设解析式为$y=\frac{m}{x}$，代入点$B(3,4)$求出m的值，即可得到该段解析式。
2. 判断是否15天内达标：要判断硫化物浓度不超过1.0mg/L的时间是否在15天内，仅需代入$y=1$到$x＞3$对应的反比例解析式中，求出对应的x值，再与15比较大小即可。
【解析】
(1) 分情况讨论：
① 当$0≤ x≤ 3$时，设线段AB对应的函数解析式为$y=kx+b$。
把$A(0,10)$、$B(3,4)$代入解析式得：
$\begin{cases}b=10\\3k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=10\end{cases}$
因此该段函数表达式为$y=-2x+10$。
② 当$x＞3$时，设反比例函数解析式为$y=\frac{m}{x}$。
把$B(3,4)$代入得$\frac{m}{3}=4$，解得$m=12$。
因此该段函数表达式为$y=\frac{12}{x}$。
综上，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：
$y=\begin{cases}-2x+10(0≤ x≤ 3)\\\frac{12}{x}(x＞3)\end{cases}$
(2) 能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：
令$y=\frac{12}{x}=1$，解得$x=12$。
因为$12＜15$，所以该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天内达标。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}-2x+10&(0≤ x≤ 3)\\\frac{12}{x}&(x＞3)\end{cases}$
(2) 能，当硫化物浓度降到1.0mg/L时所需时间为12天，小于15天，因此可以在15天内达标。
【知识点】
一次函数的应用；反比例函数的应用；分段函数
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题核心是根据图像特征判断对应区间的函数类型，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再利用函数性质解决实际问题，解题时需注意自变量的取值范围，避免代入错误的函数段。
【难度系数】
0.7
