21. (10分)某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如表所示:
(1) 观察表中数据,x,y满足什么函数关系? 请求出这个函数关系式;
(2) 若商场计划每天的销售利润为3 000元,则其售价应定为多少元?
答案：21. 解:(1) 由表中数据得 $xy=6\ 000$,$\therefore y=\frac{6\ 000}{x}$,$\therefore y$ 是 $x$ 的反比例函数,故所求函数关系式为 $y=\frac{6\ 000}{x}$.(2) 由题意得 $(x-120)y=3\ 000$,把 $y=\frac{6\ 000}{x}$ 代入得 $(x-120)·\frac{6\ 000}{x}=3\ 000$,解得 $x=240$.经检验,$x=240$ 是原方程的根. 答:若商场计划每天的销售利润为 3 000 元,则其售价应定为 240 元.
解析：
【分析】
(1) 判断x、y的函数关系时，先计算每组x与y的乘积，发现乘积为定值，符合反比例函数的特征，即可确定为反比例函数，再根据定值写出函数解析式；
(2) 销售利润=每双鞋的利润×销售量，其中每双利润为售价减进价即(x-120)元，销售量为y，结合第一问得到的函数关系式，代入利润为3000元的条件列出分式方程，求解后检验根是否符合实际意义即可得到最终售价。
【解析】
(1) 计算表中每组x与y的乘积：
$150×40=6000$，$200×30=6000$，$250×24=6000$，$300×20=6000$，
可得$xy=6000$，变形得$y=\frac{6000}{x}$，因此y是x的反比例函数，
故所求函数关系式为$y=\frac{6000}{x}$。
(2) 由题意得，每天的销售利润满足：$(x-120)y=3000$，
将$y=\frac{6000}{x}$代入上式得：
$(x-120)·\frac{6000}{x}=3000$，
方程两边同乘x得：$6000(x-120)=3000x$，
化简得：$2(x-120)=x$，
展开整理得：$2x-240=x$，
解得$x=240$。
经检验，$x=240$是原方程的根，且符合实际销售的意义。
【答案】
(1) $y$是$x$的反比例函数，函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{6000}{x}}$；
(2) 售价应定为$\boldsymbol{240}$元。
【知识点】
反比例函数的判定，销售利润计算，分式方程求解
【点评】
本题结合实际销售场景，考查了函数关系的识别、反比例函数的应用以及利用方程解决实际利润问题，解题时要注意分式方程的根需要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
22. (10分)智能饮水机接通电源后开始自动加热,水温每分钟上升$20\ °\mathrm{C}$,加热到$100\ °\mathrm{C}$时,饮水机自动停止加热,水温开始下降. 在水温开始下降的过程中,水温$y(°\mathrm{C})$与通电时间$x(\mathrm{min})$成反比例关系. 当水温降至室温时,饮水机再次自动加热,重复上述过程. 设某天水温和室温均为$20\ °\mathrm{C}$,接通电源后,水温$y(°\mathrm{C})$与通电时间$x(\mathrm{min})$之间的关系如图所示.
(1) 求当$4＜x≤ a$时,$y$与$x$之间的函数解析式;
(2) 加热一次,水温不低于$40\ °\mathrm{C}$的时间有多长?
答案：22. 解:(1) 设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}$,将点 $(4,100)$ 代入反比例函数解析式得 $k=4×100=400$,故函数的解析式为 $y=\frac{400}{x}$. 当 $y=20$ 时,$y=\frac{400}{x}=20$,则 $x=20=a$,即函数的解析式为 $y=\frac{400}{x}(4＜x≤20)$.(2) 设 $0≤ x≤4$ 时,函数的解析式为 $y=mx+20$,将点 $(4,100)$ 代入上式得 $100=4m+20$,解得 $m=20$,即一次函数的解析式为 $y=20x+20$. 令 $y=20x+20=40$,解得 $x=1$,在降温过程中,水温为 $40\ °\mathrm{C}$ 时,$40=\frac{400}{x}$,解得 $x=10$.$\because 10-1=9$,$\therefore$ 一个加热周期内水温不低于 $40\ °\mathrm{C}$ 的时间为 $9\ \mathrm{min}$.
解析：
【分析】
本题分两个阶段分析函数关系即可解题：（1）4＜x≤a是水温下降阶段，已知该阶段y与x成反比例关系，先设反比例函数解析式，将已知点(4,100)代入求出参数k，再代入室温y=20℃求出a的值，即可确定该段函数解析式和自变量取值范围；（2）求水温不低于40℃的时长，先求出0≤x≤4升温阶段的一次函数解析式，分别在升温和降温两个阶段令y=40，求出对应的两个x值，两个值的差就是所求的时长。
【解析】
(1) 设当$4＜x≤a$时，反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}$，
将点 $(4,100)$ 代入解析式得：$100=\frac{k}{4}$，解得 $k=4×100=400$，
因此反比例函数解析式为 $y=\frac{400}{x}$。
当水温降至室温$20° \mathrm{C}$时，代入解析式得 $20=\frac{400}{x}$，解得 $x=20$，即$a=20$，
故当$4＜x≤20$时，$y$与$x$的函数解析式为 $y=\frac{400}{x}$。
(2) 设$0≤x≤4$时，升温阶段的一次函数解析式为 $y=mx+20$（初始水温为$20° \mathrm{C}$），
将点$(4,100)$代入得：$100=4m+20$，解得 $m=20$，
因此升温阶段解析式为 $y=20x+20$。
① 升温过程中，令$y=40$，可得$20x+20=40$，解得$x=1$；
② 降温过程中，令$y=40$，可得$\frac{400}{x}=40$，解得$x=10$。
则加热一次水温不低于$40° \mathrm{C}$的时长为 $10-1=9(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{400}{x}(4＜x≤20)$
(2) $9\ \mathrm{min}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合生活实际考查函数的应用，解题核心是准确区分不同时间区间对应的函数类型，用待定系数法求出各段解析式后结合题意求解即可，能够有效考查学生分析实际问题、应用函数知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
