【分析】
这道题考查函数与x轴交点、函数值正负及最值的相关知识，解题思路如下：首先明确该函数分两种情况：a=0时是一次函数，a≠0时是二次函数。先计算二次函数对应的判别式$\Delta=(-3)^2-4· a·(-c)=9+4ac$，再结合开口方向、一次函数性质逐一验证每个选项是否一定成立：
1. 验证选项A时，除了看判别式，还要考虑二次项系数a的符号判断开口方向；
2. 验证选项B时，判别式为0仅说明函数与x轴有一个交点，最值的正负由开口方向决定；
3. 验证选项C时，要考虑a=c=0时函数是一次函数的特殊情况；
4. 验证选项D时，可通过取a=0得到一次函数，无论c取何值一次函数都和x轴仅有一个交点，即可判断成立。
【解析】
函数$y=ax^2-3x-c$，分$a=0$（一次函数）和$a\ne0$（二次函数）两种情况讨论：
选项A：若$ac＜-3$，则$\Delta=9+4ac＜9+4×(-3)=-3＜0$，函数为二次函数，若$a＜0$则抛物线开口向下，恒有$y＜0$，因此A错误。
选项B：若$ac=-\frac{9}{4}$，则$\Delta=9+4×(-\frac{9}{4})=0$，函数为二次函数，若$a＜0$则抛物线开口向下，$y$有最大值0，没有最小值，因此B错误。
选项C：若$a=c$，当$a=c=0$时，函数为$y=-3x$，是一次函数，与x轴只有1个公共点，因此C错误。
选项D：当$a=0$时，函数为$y=-3x-c$，属于一次函数，无论$c$取任意实数，该一次函数都与x轴有且只有一个公共点，即对任意$c$，取$a=0$即可满足条件，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，一次函数的性质，判别式的应用
【点评】
本题易错点是容易忽略二次项系数$a=0$的情况，以及使用判别式判断函数最值、函数值正负时，遗漏开口方向的影响，解题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决一元二次方程两根异号求参数范围的问题，需明确两个核心条件：① 方程有两个不相等的实数根，即判别式Δ＞0；② 两根异号等价于两根之积小于0（异号两数相乘为负），可通过韦达定理（根与系数的关系）列出关于m的不等式。解题时先根据两根异号列乘积不等式求解，再验证判别式是否满足条件，最终得到m的取值范围。
【解析】
设方程$x^2 + 2x + 4m + 1 = 0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 4m + 1$，因为两根异号，所以$x_1x_2 ＜ 0$，即：
$4m + 1 ＜ 0$
解得：$m ＜ -\frac{1}{4}$
2. 验证判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(4m + 1) = 4 - 16m - 4 = -16m$
当$m ＜ -\frac{1}{4}$时，$-16m ＞ 4 ＞ 0$，满足方程有两个不相等实数根的条件。
综上，实数m的取值范围是$m ＜ -\frac{1}{4}$。
【答案】
$m＜-\frac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；一元一次不等式求解
【点评】
本题重点考察一元二次方程根的符号与系数的关联，解题时要注意结合根的判别式和韦达定理综合分析，本题中两根异号的条件实际已经隐含了判别式大于0，熟练掌握相关性质可提升解题效率。
【难度系数】
0.7

【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的性质：先根据反比例函数解析式中k的正负，判断函数图象所在象限以及增减性；再结合两个点横坐标的取值范围，确定两点是否在同一象限；最后利用增减性就能比较出对应函数值的大小。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$中，$k=2＞0$，
∴ 该函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ $x_1＜x_2＜0$，说明$P_1$、$P_2$两点都在第三象限的函数图象上，
∴ 根据第三象限内的增减性，当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题时要注意：只有在同一个象限内，才能直接用反比例函数的增减性比较函数值的大小，避免忽略自变量的取值范围出错。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先回忆对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题给出的方程是$x^2+px+q=0$，对应可得$a=1$，$b=p$，$c=q$，因此只需计算两根的和与积，代入公式即可求出$p$、$q$的值。
【解析】
设方程$x^2 + px + q = 0$的两个根分别为$x_1=-2\sqrt{2}$，$x_2=3\sqrt{2}$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$
先计算两根之和：
$x_1+x_2=-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=\sqrt{2}$
因此$\sqrt{2}=-p$，解得$p=-\sqrt{2}$。
再计算两根之积：
$x_1x_2=(-2\sqrt{2})×3\sqrt{2}=-6×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=-6×2=-12$
因此$q=-12$。
【答案】
$p=-\sqrt{2}$；$q=-12$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 二次根式的运算
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是牢记根与系数的对应关系，计算二次根式的和与积时注意运算符号和运算法则即可正确求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
要写出满足条件的抛物线解析式，首先回忆二次函数的一般形式为$y = ax^2+bx+c(a≠0)$：①开口向上的条件是二次项系数$a＞0$；②抛物线与y轴的交点的纵坐标就是常数项$c$，已知与y轴交于$(0,1)$，因此$c=1$。只要满足以上两个条件，$b$可以取任意实数，任选一组符合要求的系数即可得到解析式。
【解析】
设抛物线的一般解析式为$y = ax^2+bx+c(a≠0)$
1. 由抛物线开口向上，可得$a＞0$，可任选正数作为$a$的值，例如取$a=1$；
2. 已知抛物线与y轴交于点$(0,1)$，将$x=0,y=1$代入解析式，得$1 = 0 + 0 + c$，解得$c=1$；
3. 一次项系数$b$可以取任意实数，例如取$b=0$，可得解析式$y=x^2+1$；取$b=1$，可得解析式$y=x^2+x+1$，所有符合要求的解析式均正确。
【答案】
答案不唯一,如:$y=x^2+1,y=x^2+x+1$等
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的解析式；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于开放性基础题，解题的关键是掌握二次项系数对抛物线开口方向的影响，以及抛物线与y轴交点和常数项的对应关系，解答时只要满足题干要求即可，灵活性较强。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题思路如下：1. 先利用直角三角形斜边中线的性质推导角相等，证明△ABC和△EOB相似，得到边的比例关系；2. 结合△BEC的面积公式求出BC与OE的乘积，通过相似的比例关系转化得到AB与OB的乘积；3. 结合反比例函数k的几何意义，利用A点的坐标特征求出k的值。
【解析】
解：
∵BD是Rt△ABC斜边AC的中线，
∴$BD=DC$，可得$∠DBC=∠ACB$，
又
∵$∠DBC=∠EBO$（对顶角相等），
∴$∠ACB=∠EBO$，
∵$∠ABC=∠EOB=90°$，
∴$△ABC∽△EOB$，
∴$\frac{BC}{OB}=\frac{AB}{OE}$，交叉相乘得：$BC·OE=AB·OB$，
∵$S_{△BEC}=\frac{1}{2}·BC·OE=8$，
∴$BC·OE=16$，即$AB·OB=16$，
设点A坐标为$(x,y)$（$x＜0,y＜0$），则$OB=|x|=-x$，$AB=|y|=-y$，
∴$AB·OB=(-x)·(-y)=xy=16$，
∵点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=xy=16$。
【答案】
16
【知识点】
反比例函数k的几何意义，直角三角形斜边中线性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数的综合典型题，将几何图形性质和反比例函数性质结合考查，解题核心是通过相似三角形建立三角形面积与反比例函数系数k的联系。
【难度系数】
0.6

【分析】
① 二次函数图象上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，先求出该二次函数的对称轴，推导得到m+n与t的关系，再结合m+n的取值范围求出t的范围，即可得到t的最大值。
② 结合①得到的t的取值范围，判断对称轴与给定区间[-4,-2]的位置关系，根据开口向上的二次函数“离对称轴越远函数值越大”的最值特点，找到最大值对应的x值，代入函数列方程求解，最后验证t是否符合取值范围即可。
【解析】
① 对于二次函数$y=x^2-2tx+3$，由对称轴公式可得对称轴为直线$x=\frac{2t}{2×1}=t$。
因为$A(m,h)$、$B(n,h)$纵坐标相同，所以两点关于对称轴对称，因此$\frac{m+n}{2}=t$，即$m+n=2t$。
已知$-8\le m+n\le -6$，代入得$-8\le 2t\le -6$，不等式两边同除以2得$-4\le t\le -3$，故t的最大值为$-3$。
② 由①知$t\in[-4,-3]$，二次函数开口向上，对称轴$x=t$落在区间$[-4,-2]$内。
开口向上的二次函数在区间上的最大值出现在离对称轴更远的端点处：
端点$x=-2$到对称轴的距离为$-2-t$，端点$x=-4$到对称轴的距离为$t+4$，由$t\le-3$可得$-2-t\ge1$，$t+4\le1$，因此$x=-2$离对称轴更远，函数在$x=-2$处取最大值。
将$x=-2$代入函数得$y=(-2)^2-2t×(-2)+3=4t+7$，结合题意列方程：
$4t+7=2t+\frac{1}{2}$
移项化简得$2t=-\frac{13}{2}$，解得$t=-\frac{13}{4}$，经检验$-\frac{13}{4}=-3.25\in[-4,-3]$，符合条件。
【答案】
① $\boldsymbol{-3}$；② $\boldsymbol{-\dfrac{13}{4}}$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数区间最值，解一元一次不等式
【点评】
本题围绕二次函数的核心性质设题，解题关键是利用对称性建立参数t与已知条件的联系，再结合开口方向判断区间最值的取点位置，求解后要注意验证参数是否符合限定范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6

【分析】
这是一道一元二次方程求解的基础题，观察方程为$ax^2+bx+c=0$的标准一般形式，且无法直接因式分解，因此选择公式法求解最为简便。解题思路如下：第一步先准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，通过$\Delta$的正负判断方程根的情况；第三步若$\Delta≥0$，直接代入求根公式计算即可得到方程的两个根。
【解析】
解：已知方程$x^2 -5x +2=0$，对应一元二次方程一般形式可得：
$a=1,b=-5,c=2$
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4×1×2 = 25-8=17＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{17}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$
即$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；根的判别式；求根公式
【点评】
本题是一元二次方程求解的常规基础题，解题时要注意系数的符号不要出错，熟练掌握公式法的求解步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.85

【分析】
（1）对于一元二次方程，没有实数根的判定依据是根的判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$，首先明确方程中$a、b、c$的取值，代入判别式得到关于$m$的一元一次不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围；
（2）方程有两个不相等的实数根需满足$\Delta=b^2-4ac＞0$，先求出此时$m$的取值范围，在范围内选取一个符合要求的非零整数代入原方程，再用配方法或公式法求解一元二次方程即可。
【解析】
（1）已知方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 = 0$是一元二次方程，其中$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^2$。
$\because$ 方程没有实数根，
$\therefore \Delta = b^2-4ac＜0$，
代入得$[-2(m+1)]^2-4×1× m^2＜0$，
展开化简得$4(m^2+2m+1)-4m^2＜0$，即$8m+4＜0$，
解得$m＜-\frac{1}{2}$。
（2）若方程有两个不相等的实数根，则$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$8m+4＞0$，解得$m＞-\frac{1}{2}$。
选取非零整数$m=1$，代入原方程得：
$x^2-2×(1+1)x+1^2=0$，即$x^2-4x+1=0$，
配方得$(x-2)^2=3$，
开方得$x-2=\pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。
【答案】
（1）当$m＜-\frac{1}{2}$时，原方程没有实数根；
（2）选取$m=1$时，两个实数根为$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$（$m$取值不唯一，符合$m＞-\frac{1}{2}$且为非零整数即可）
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，核心考查根的判别式和根的个数的对应关系，第二问为开放性问题，选取参数时注意满足题干限定条件即可，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.75

【分析】
(1) 要确定反比例函数的表达式，需求出未知系数$k$的值。已知交点$P$同时在正比例函数和反比例函数图象上，先将$P(2,m)$代入正比例函数$y=2x$求出$m$，得到$P$点的完整坐标，再将$P$点坐标代入反比例函数解析式即可求出$k$，得到反比例函数表达式。
(2) 求$x$在$-4＜x＜-2$范围内的$y$取值范围，首先明确反比例函数$y=\frac{8}{x}$中$k=8＞0$，在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，先计算$x=-4$和$x=-2$对应的$y$值，再结合函数增减性即可确定$y$的取值范围。
【解析】
(1) 将点$P(2,m)$代入正比例函数$y=2x$，得：
$m=2×2=4$，
因此点$P$的坐标为$(2,4)$。
将$P(2,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$4=\frac{k}{2}$，解得$k=2×4=8$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
(2) 对于反比例函数$y=\frac{8}{x}$，$k=8＞0$，其图象在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
当$-4＜x＜-2$时，对应图象在第三象限：
当$x=-4$时，$y=\frac{8}{-4}=-2$；
当$x=-2$时，$y=\frac{8}{-2}=-4$。
由于该区间内$x$逐渐增大，$y$随$x$增大而减小，因此$y$的取值范围是$-4＜y＜-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{8}{x}}$；(2) $\boldsymbol{-4＜y＜-2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，函数交点坐标特征
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合基础题，核心考查函数图象上的点与函数解析式的关系，以及反比例函数增减性的应用，解题时需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免跨象限判断取值范围出现错误。
【难度系数】
0.8