问题 如图(1),在正方形$ABCD$中,$M$为$AB$边上一点,且$DM=BC+BM$, $N$是$BC$的中点.求证:$DN$平分$∠ CDM$.
名师指导
如果题目所给条件中存在平行和中点,就可以用构造中心对称图形的方法进行证明,这样证明方便快捷.因此,如图(2),延长$AB$,$DN$,它们相交于点$H$,这样$△ DCN$与$△ HBN$关于点$N$中心对称.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
证明：
答案：证明：
延长AB，DN交于点H。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ CD=BC，CD//AB，∠C=∠NBH=90°，
∴ ∠CDN=∠H。
∵ N是BC的中点，
∴ CN=BN，
∴ △DCN与△HBN关于点N中心对称，
∴ CD=BH，
∴ MH=BM+BH=BM+CD。
又∵ DM=BC+BM，CD=BC，
∴ DM=BM+CD=MH，
∴ ∠MDH=∠H。
又∵ ∠CDN=∠H，
∴ ∠CDN=∠MDH，
即DN平分∠CDM。
解析：
【分析】
要证明DN平分∠CDM，即需证明∠CDN=∠MDN。已知正方形ABCD中CD//AB，且N是BC中点，符合构造中心对称全等三角形的条件：延长DN交AB的延长线于点H，可先证△DCN与△HBN中心对称，得到CD=BH、∠CDN=∠H；再结合已知条件DM=BC+BM，利用正方形边长相等CD=BC，可推得DM=BM+BH=MH，由等腰三角形等边对等角的性质得∠MDH=∠H，最后通过等量代换即可证明两个角相等，得到DN平分∠CDM的结论。
【解析】
延长AB，DN交于点H。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ CD=BC，CD//AB，∠C=∠NBH=90°，
∴ ∠CDN=∠H。
∵ N是BC的中点，
∴ CN=BN，
∴ △DCN与△HBN关于点N中心对称，
∴ CD=BH，
∴ MH=BM+BH=BM+CD。
又
∵ DM=BC+BM，CD=BC，
∴ DM=BM+CD=MH，
∴ ∠MDH=∠H。
又
∵ ∠CDN=∠H，
∴ ∠CDN=∠MDH，
即DN平分∠CDM。
【答案】
DN平分∠CDM
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题核心是利用“平行+中点”的条件构造中心对称全等三角形，将分散的线段和条件转化到同一条线段上，结合等腰三角形的性质完成角的等量代换，是证明角平分线的典型方法，侧重考查转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
1. 按照国际航天界的惯例，很多航天任务都会特别设计一枚图标，下列航天图标中是中心对称图形的是 （
A
）
答案：1. A.
解析：
【分析】
解题前首先回忆中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某个固定点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。解题时只需逐一将四个选项的图形想象绕中心旋转180°，判断旋转后是否与原图形重合即可选出正确答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义逐一判断：
A选项：将该图形绕中心旋转180°后，旋转得到的图形与原图形完全重合，属于中心对称图形；
B选项：将该图形绕中心旋转180°后，图形的轮廓细节与原图形不重合，不属于中心对称图形；
C选项：将该图形绕中心旋转180°后，图形的斜向条纹方向与原图形不符，不重合，不属于中心对称图形；
D选项：将该图形绕中心旋转180°后，图形的线条端点位置与原图形不符，不重合，不属于中心对称图形。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
中心对称图形识别
【点评】
本题是基础类考题，核心考查对中心对称图形概念的理解，解题的关键是抓住“旋转180°后与原图形重合”这一判断要点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 下列$3×3$网格图都是由9个相同的小正方形组成的，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形。
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形。
（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形。
（请将三个小题依次作答在图（1）、图（2）、图（3）中，均只需画出符合条件的一种情形）
答案：解：
（1）在图(1)中，将第一行第一列的空白小正方形涂上阴影，得到的4个阴影图形沿左上到右下的对角线折叠后完全重合，是轴对称图形，绕3×3网格中心旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合要求。
（2）在图(2)中，将第三行第三列的空白小正方形涂上阴影，得到的4个阴影图形为Z字形，绕3×3网格中心旋转180°后与自身重合，是中心对称图形，不存在直线使图形沿其折叠后完全重合，不是轴对称图形，符合要求。
（3）在图(3)中，将第一行第二列、第二行第三列的空白小正方形涂上阴影，得到的5个阴影图形为十字形，沿过第二列的竖直线折叠后完全重合，是轴对称图形，符合要求。
（注：以上为符合条件的一种情形，答案不唯一）
解析：
【分析】
解题的核心是牢记轴对称图形、中心对称图形的定义：①轴对称图形：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合；②中心对称图形：绕图形中心旋转180°后，能与自身重合。解题时按小题要求逐步操作：
（1）要得到仅为轴对称的4个阴影图形，先确定一条对称轴，找现有阴影关于该对称轴的对应空白位置涂色，再验证旋转180°后不重合即可；
（2）要得到仅为中心对称的4个阴影图形，先找现有阴影绕网格中心旋转180°后的对应空白位置涂色，再验证不存在对折后重合的对称轴即可；
（3）要得到轴对称的5个阴影图形，先确定对称轴，在空白位置补充2个关于该对称轴对称的阴影，验证对折后重合即可。本题答案不唯一，只要满足条件均正确。
【解析】
（1）对图(1)：选取第一行第一列的空白小正方形涂阴影。验证：沿左上到右下的网格对角线对折，4个阴影完全重合，是轴对称图形；绕网格中心旋转180°后，阴影无法与自身重合，不是中心对称图形，符合要求。
（2）对图(2)：选取第三行第三列的空白小正方形涂阴影。验证：绕网格中心旋转180°后，4个阴影与自身完全重合，是中心对称图形；不存在直线使阴影沿其对折后完全重合，不是轴对称图形，符合要求。
（3）对图(3)：选取第一行第二列、第二行第三列的空白小正方形涂阴影。验证：沿过第二列的竖直直线对折，5个阴影完全重合，是轴对称图形，符合要求。
（注：以上仅为一种符合要求的作图方式，答案不唯一）
【答案】
（1）将图（1）第一行第一列的小正方形涂上阴影；
（2）将图（2）第三行第三列的小正方形涂上阴影；
（3）将图（3）第一行第二列、第二行第三列的小正方形涂上阴影。
（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
轴对称图形判定、中心对称图形判定、网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，核心考查对轴对称、中心对称概念的掌握，需要结合网格特征灵活选择涂色位置，能够有效锻炼空间想象能力和对图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
