【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，确定$a$、$b$、$c$的取值，注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＜0$时方程无实数根，$\Delta≥0$时方程有实数根；③当$\Delta≥0$时，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算得到方程的根。若给出的方程不是一般形式，必须先化简整理再进行后续计算。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 3x + 1 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=3$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4×1×1 = 5＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}$，即$x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$。
(2) 方程$x^2 - 4x - 21 = 0$为一般形式，其中$a=1$，$b=-4$，$c=-21$。
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-21) = 16+84=100＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2×1}=\frac{4\pm10}{2}$，即$x_1=\frac{4+10}{2}=7,x_2=\frac{4-10}{2}=-3$。
(3) 方程$2y^2 - 3y + \frac{17}{8} = 0$为一般形式，其中$a=2$，$b=-3$，$c=\frac{17}{8}$。
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×2×\frac{17}{8}=9-17=-8＜0$，方程无实数根。
(4) 先整理方程为一般形式：
移项得$4x^2 - 3x -1 -x +2 = 0$，合并同类项得$4x^2-4x+1=0$，其中$a=4$，$b=-4$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = (-4)^2 -4×4×1=16-16=0$，方程有两个相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{4\pm\sqrt{0}}{2×4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，即$x_1=x_2=\frac{1}{2}$。
(5) 先整理方程为一般形式：
左右两边展开得$3x^2-9x=2(x^2-1)=2x^2-2$，移项合并同类项得$x^2-9x+2=0$，其中$a=1$，$b=-9$，$c=2$。
计算判别式：$\Delta = (-9)^2 -4×1×2=81-8=73＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2×1}$，即$x_1=\frac{9+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$。
(6) 先整理方程为一般形式：
移项得$4y^2-8y+1=0$，其中$a=4$，$b=-8$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = (-8)^2 -4×4×1=64-16=48＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$y=\frac{8\pm\sqrt{48}}{2×4}=\frac{8\pm4\sqrt{3}}{8}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$，即$y_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$；
(2) $x_1=7,x_2=-3$；
(3) 无实数根；
(4) $x_1=x_2=\frac{1}{2}$；
(5) $x_1=\frac{9+\sqrt{73}}{2},x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$；
(6) $y_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程判别式，一元二次方程化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的典型训练题，覆盖了判别式大于0、等于0、小于0三种根的情况，同时考察了非标准形式一元二次方程的化简能力，熟练掌握解题步骤、注意符号计算即可正确求解。
【难度系数】
0.75

【分析】
本题需要利用一元二次方程根的情况与判别式的对应关系解题，思考步骤如下：首先回忆一元二次方程有两个相等实数根的等价条件是判别式$\Delta=0$；其次确定给定方程中二次项系数、一次项系数、常数项的取值，代入判别式公式化简即可得到$m$与$n$的关系；最后任取两个合理的$m$值，代入关系式算出对应的$n$值，就能得到符合条件的两组取值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^2 + mx + n = 0$中，$a=1$，$b=m$，$c=n$，
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=m^2-4×1× n=0$，
化简得：$m^2=4n$。
取$m=2$，代入$m^2=4n$得$4=4n$，解得$n=1$；
取$m=4$，代入$m^2=4n$得$16=4n$，解得$n=4$。
（取值不唯一，满足$m^2=4n$即可）
【答案】
$m^2=4n$，$\begin{cases}m=2,\\n=1;\end{cases}$ $\begin{cases}m=4,\\n=4;\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式，代数式求值
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是牢记判别式与方程根的三种对应关系，取值时只要满足推导得到的等量关系即可，开放性较强。
【难度系数】
0.8

【分析】
（1）判断一个数是否为一元二次方程的根，可依据一元二次方程根的定义：将该数代入方程，若左右两边相等，则它是方程的根。题中a、b满足的等式与方程$3x^2 + 5x - 1 = 0$结构完全匹配，直接代入验证即可得出结论。
（2）结合$a＞b$可知$a≠b$，由第一问结论可得a、b是方程$3x^2 + 5x - 1 = 0$的两个不相等实根，因此先用公式法求出方程的两个根，再根据$a＞b$的条件分别确定a、b的取值即可。
【解析】
（1）根据一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。
将$x=a$代入$3x^2 + 5x - 1 = 0$，左边$=3a^2+5a-1$，由题可知$3a^2 + 5a - 1 = 0$，即左边=右边，因此a是方程$3x^2 + 5x - 1 = 0$的根。
同理，将$x=b$代入$3x^2 + 5x - 1 = 0$，左边$=3b^2+5b-1=0=$右边，因此b也是方程$3x^2 + 5x - 1 = 0$的根。
（2）由$a＞b$得$a≠b$，因此a、b是方程$3x^2 + 5x - 1 = 0$的两个不相等的实数根。
对于方程$3x^2 + 5x - 1 = 0$，二次项系数为3，一次项系数为5，常数项为-1，
先计算判别式：$\Delta=5^2-4×3×(-1)=25+12=37＞0$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，可得方程的两个根为：
$x_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$，
因为$\sqrt{37}＞0$，所以$\frac{-5+\sqrt{37}}{6}＞\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$，结合$a＞b$的条件，得$a=\frac{-5+\sqrt{37}}{6}$，$b=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$。
【答案】
(1) $a,b$是方程$3x^2 + 5x - 1 = 0$的根；
(2) $a=\frac{-5+\sqrt{37}}{6},b=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$。
【知识点】
一元二次方程根的定义，公式法解一元二次方程，根的判别式
【点评】
本题属于基础题，重点考查对一元二次方程根的定义的理解，以及公式法解方程的掌握情况，解题时注意结合$a＞b$的条件区分两个根即可。
【难度系数】
0.8