【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否含有公因式，若有则先提取公因式；第二步根据剩余多项式的项数匹配对应公式，两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式；第三步检查分解结果是否彻底，不可再分解。
针对本题三个小题：(1)式两项含有公共因式x，直接提取公因式即可；(2)式两项均为平方形式且符号相反，符合平方差公式结构特征；(3)式共三项，首末两项为同号平方项，中间项为两个平方底数乘积的2倍，符合完全平方差公式结构特征。
【解析】
(1) 观察$x^2 -4x$，两项的公因式为$x$，提取公因式得：
$x^2 -4x = x· x - 4· x = x(x-4)$
(2) 观察$4y^2 -9$，可变形为$(2y)^2 - 3^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=2y$，$b=3$，代入得：
$4y^2 -9 = (2y)^2 - 3^2 = (2y+3)(2y-3)$
(3) 观察$4a^2 -4a +1$，可变形为$(2a)^2 - 2· 2a· 1 + 1^2$，符合完全平方差公式$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，其中$a=2a$，$b=1$，代入得：
$4a^2 -4a +1 = (2a)^2 - 2· 2a· 1 + 1^2 = (2a-1)^2$
【答案】
(1) $x(x-4)$；(2) $(2y+3)(2y-3)$；(3) $(2a-1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的常规方法和公式的应用，解题关键是准确识别多项式的结构特征，熟练掌握相关公式的形式，按照“一提二套三查”的步骤操作即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题思路可分为两步：第一步，根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，得到关于m的一元二次方程，求解得到m的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合要求的m值，最终得到正确的m值。
【解析】
∵ 关于x的一元二次方程$mx^2 + 4x + m^2 - 3m = 0$的一个根为0，
∴ 将$x=0$代入方程，等式成立，即：
$m· 0^2 + 4× 0 + m^2 - 3m = 0$
整理得：$m^2 - 3m = 0$
因式分解得：$m(m-3)=0$
解得：$m_1=0$，$m_2=3$
又
∵ 原方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数$m≠ 0$，故舍去$m=0$
∴ $m$的值为3。
【答案】
$3$
【知识点】
一元二次方程的定义，方程根的概念，因式分解法解方程
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查一元二次方程的相关概念，解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误将m=0作为答案，做题时要注意审清题目条件，不要遗漏隐含限制。
【难度系数】
0.7

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，据此可将一元二次方程降次转化为一元一次方程求解。解题时先观察方程左边的多项式结构，选择对应的因式分解方法：
(1) 方程左边两项有公因式x，优先用提公因式法分解；
(2) 方程左边符合完全平方公式的结构特征，用完全平方公式分解；
(3) 方程左边符合平方差公式的结构特征，用平方差公式分解。
【解析】
(1) 对$x^2 + 6x = 0$提公因式，得：
$x(x+6)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x+6=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-6$
(2) 对$x^2 + 2x + 1 = 0$用完全平方公式分解，得：
$(x+1)^2=0$
$\therefore x+1=0$
解得：$x_1=x_2=-1$
(3) 对$y^2 - 4 = 0$用平方差公式分解，得：
$(y+2)(y-2)=0$
$\therefore y+2=0$ 或 $y-2=0$
解得：$y_1=2$，$y_2=-2$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=-6$；(2) $x_1=x_2=-1$；(3) $y_1=2,y_2=-2$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式法因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，重点考察常见因式分解方法的灵活运用，熟练掌握提公因式、完全平方公式、平方差公式的结构特征是快速解题的关键，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9

【分析】
观察已知方程，发现$x^2+y^2$以整体形式重复出现，因此可以采用换元法简化运算：第一步将$x^2+y^2$设为新变量$t$，根据平方的非负性可知$t$的取值范围为$t≥0$；第二步将$t$代入原方程，把原方程转化为关于$t$的一元二次方程；第三步用因式分解法解这个一元二次方程，最后对得到的解进行检验，舍去不符合$t≥0$的解，即可得到$x^2+y^2$的值。
【解析】
设 $ t = x^2 + y^2 $，根据平方的非负性可知 $ t ≥ 0 $。
将 $ t $ 代入原方程，得：
$ t(t - 2) = -1 $
整理方程，得：
$ t^2 - 2t + 1 = 0 $
对左边因式分解，得：
$ (t - 1)^2 = 0 $
解得 $ t_1 = t_2 = 1 $。
由于 $ t=1 ≥ 0 $，符合取值要求，因此 $ x^2 + y^2 = 1 $。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
换元法、因式分解法解一元二次方程、平方的非负性
【点评】
本题重点考查整体换元的数学思想，解题时要注意换元后新变量的取值范围，避免产生增根，熟练掌握因式分解解一元二次方程的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”。解题时不需要展开原方程，直接将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”的性质，
因为$(x+3)(x-4)=0$，
所以可得两个一元一次方程：
$x+3=0$ 或 $x-4=0$，
解$x+3=0$，得$x=-3$；
解$x-4=0$，得$x=4$。
【答案】
$x_1=-3,x_2=4$
【知识点】
因式分解法解方程、零乘积性质
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，解题时无需展开整理方程，直接利用乘积为0的性质转化为低次方程求解即可，是对解方程基础方法的考察。
【难度系数】
0.9

【分析】
观察方程可知2x+3y是重复出现的整体，可采用换元法，设$ t=2x+3y $，将原方程转化为关于t的一元二次方程，再用因式分解法求解t即可，本题中2x+3y无特殊取值限制，解出的t值均符合要求。
【解析】
解：设$ t=2x+3y $，则原方程可变形为：
$ t^2 + 2t - 8 = 0 $
对等式左边用十字相乘法因式分解得：
$ (t+4)(t-2)=0 $
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$ t+4=0 $ 或 $ t-2=0 $
解得：$ t_1=2 $，$ t_2=-4 $
因此$ 2x+3y $的值为2或-4。
【答案】
2或-4
【知识点】
换元思想、因式分解法解方程、整体代入
【点评】
本题解题的核心是识别方程中重复出现的整体结构，通过换元将复杂方程转化为常规的一元二次方程，简化了解题步骤，避免了直接展开原式带来的繁琐运算。
【难度系数】
0.7

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“几个因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解。对于(1)，观察方程两项都含有公因式$(x-5)$，直接提取公因式即可分解；对于(2)，先将右侧的$2-x$移到左侧，变形为$x(x-2)+(x-2)=0$，再提取公因式$(x-2)$分解。
【解析】
(1) 对$(x-5)^2 + 6x(x-5)=0$提取公因式$(x-5)$，得：
$\begin{aligned}(x-5)(x-5 + 6x)&=0\\(x-5)(7x - 5)&=0\end{aligned}$
所以$x-5=0$或$7x-5=0$
解得$x_1=5$，$x_2=\frac{5}{7}$
(2) 对$x(x-2)=2-x$移项，得：
$x(x-2) + (x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x + 1)=0$
所以$x-2=0$或$x+1=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$
【答案】
(1) $x_1=5,x_2=\frac{5}{7}$；(2) $x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础题型，解题关键是准确识别公因式，移项时注意符号变化，熟练掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先从“长减少2m菜地变成正方形”的条件可推出：原矩形的长比宽多2m，因此设长为x m时，宽可表示为(x-2)m；再结合矩形面积=长×宽的公式，以及已知面积为120m²的条件，即可列出一元二次方程，求解后注意长度不能为负，舍去不符合实际意义的根，就能得到原菜地的长。
【解析】
解：设原菜地的长为$x$ m，由长减少2m菜地变为正方形可知，原菜地的宽为$(x-2)$ m。
根据矩形面积公式列方程得：
$x(x-2)=120$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2 - 2x - 120 = 0$
用因式分解法分解方程左边得：$(x-12)(x+10)=0$
因此$x-12=0$或$x+10=0$
解得$x_1=12$，$x_2=-10$
由于菜地的长度不能为负数，$x_2=-10$不合题意，舍去。
【答案】
$\boldsymbol{12\ \mathrm{m}}$
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程在实际几何问题中的基础应用，解题核心是抓住图形性质推导未知量的关系，结合等量关系列方程，同时要注意实际问题的解需要符合现实意义。
【难度系数】
0.8

【分析】
这道题是一元二次方程解法结合规律探究的题目，解题思路如下：第一步，用因式分解法求解（1）中的3个一元二次方程，观察方程系数特征和解的对应关系；第二步，根据第一步得到的规律猜想（2）的结果，规律为：二次项系数为1的一元二次方程，一次项系数是两个解的和的相反数，常数项是两个解的乘积；第三步，用因式分解法求解$x^2 -9x +8=0$，验证猜想的正确性。
【解析】
(1) ① 对$x^2 -2x +1=0$因式分解得$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$；
② 对$x^2 -3x +2=0$因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，即$x-1=0$或$x-2=0$，解得$x_1=1,x_2=2$；
③ 对$x^2 -4x +3=0$因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，即$x-1=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1,x_2=3$；
(2) 结合上述方程与解的特征推导：
① 方程$x^2 -9x +8=0$中，$1+8=9$，$1×8=8$，因此猜想解为$x_1=1,x_2=8$；
② 若方程的解为$x_1=1,x_2=n$，则一次项系数为$-(1+n)$，常数项为$n$，可得方程为$x^2-(1+n)x+n=0$；
(3) 解$x^2 -9x +8=0$：
因式分解得$(x-1)(x-8)=0$，
即$x-1=0$或$x-8=0$，
解得$x_1=1,x_2=8$，与猜想结论一致，猜想正确。
【答案】
(1) ① $x_1=1,x_2=1$;② $x_1=1,x_2=2$;③ $x_1=1,x_2=3$;
(2) ① $x_1=1,x_2=8$;② $x^2-(1+n)x+n=0$;
(3) $x_1=1,x_2=8$.
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 根与系数的关系
3. 规律探究验证
【点评】
本题将一元二次方程解法和规律探究相结合，既考查了因式分解法解一元二次方程的基础技能，又考查了观察、归纳、猜想、验证的逻辑思维能力，题目层级清晰，能有效巩固一元二次方程相关知识。
【难度系数】
0.8