3. 如图，$\odot P$经过点$O(0,0)$，交$y$轴于点$B$，若$P(-5,-3)$，则点$B$的纵坐标是 （
C
）
A.$-10$
B.$-8$
C.$-6$
D.$-4$
答案：3. C.
解析：
【分析】
要求点B的纵坐标，已知圆心P的坐标且$\odot P$过原点O，OB是$\odot P$在y轴上的弦，可利用垂径定理解题：过圆心作弦OB的垂线，垂足即为OB的中点，结合P的坐标求出中点的位置，即可推导B的坐标。
【解析】
过点P作$PC⊥ y$轴，垂足为C。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得C是OB的中点，即$OB=2OC$。
已知P点坐标为$(-5,-3)$，因此点C的坐标为$(0,-3)$，OC的长度为3，那么$OB=2×3=6$。
因为点B位于y轴负半轴，所以点B的纵坐标为$-6$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，坐标与图形性质，圆的基本性质
【点评】
本题将垂径定理与平面直角坐标系结合考查，解题的关键是合理作出辅助线，利用垂径定理得到弦的中点，结合坐标特征计算线段长度，掌握垂径定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
问题 南通市濠河上有一座圆弧形拱桥，桥下面的水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m.现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要通过该桥，问此货船是否能顺利通过这座桥？
名师指导
正确地画出示意图是解决本题的关键.设$\overset{\frown}{AB}$表示桥拱，EF表示船的宽度.当船从桥拱的正中央通过时，船舱两边缘的上顶端只有在N(或M)点的下方时，船才能通过，这就需要比较NF的长与2 m的大小.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案：解：设圆弧桥拱所在圆的圆心为O，半径为R m。
过点O作OC⊥AB于点C，交$\overset{\frown}{AB}$于点D，
由垂径定理得：C为AB的中点，已知AB=7.2 m，
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=3.6\ \mathrm{m}$。
由题意知，拱顶D高出水面AB的高度为2.4 m，即CD=2.4 m，
∴ $OC = R - 2.4$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = AC^2 + OC^2$，即$R^2 = 3.6^2 + (R - 2.4)^2$，
展开得：$R^2 = 12.96 + R^2 - 4.8R + 5.76$，
化简解得：$R=3.9$。
∴ $OC = 3.9 - 2.4 = 1.5\ \mathrm{m}$。
当货船从桥拱正中央通过时，设船顶对应的弦为MN，MN//AB，MN=3 m，MN交OC于点G，
由垂径定理得：OG⊥MN，$MG=\frac{1}{2}MN=1.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMG$中，由勾股定理得：
$OG = \sqrt{OM^2 - MG^2} = \sqrt{3.9^2 - 1.5^2} = 3.6\ \mathrm{m}$，
∴ 船顶MN到水面AB的高度$CG = OG - OC = 3.6 - 1.5 = 2.1\ \mathrm{m}$。
∵ $2.1 ＞ 2$，
∴ 此货船能顺利通过这座桥。
解析：
【分析】
要判断货船能否通过拱桥，需先求出拱桥在货船宽度位置的最大净高，再与货船高出水面的高度比较。解题思路如下：1. 先求桥拱所在圆的半径：设圆弧的圆心，过圆心作水面的垂线，利用垂径定理得到水面宽度的一半，结合拱高，用勾股定理列方程求解半径；2. 计算船宽对应位置的净高：当船从桥的正中央通行时（此时通行高度最低，若此处满足即可通行），取船宽的一半，再次利用垂径定理和勾股定理求出船顶位置到圆心的竖直距离，进一步算出该位置距离水面的高度，和船的高度比较即可得到结论。
【解析】
设圆弧桥拱所在圆的圆心为O，半径为R m。
过点O作OC⊥AB于点C，交$\overset{\frown}{AB}$于点D，
由垂径定理得：C为AB的中点，已知AB=7.2 m，
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=3.6\ \mathrm{m}$。
由题意知，拱顶D高出水面AB的高度为2.4 m，即CD=2.4 m，
∴ $OC = R - 2.4$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = AC^2 + OC^2$，即$R^2 = 3.6^2 + (R - 2.4)^2$，
展开得：$R^2 = 12.96 + R^2 - 4.8R + 5.76$，
化简解得：$R=3.9$。
∴ $OC = 3.9 - 2.4 = 1.5\ \mathrm{m}$。
当货船从桥拱正中央通过时，设船顶对应的弦为MN，MN//AB，MN=3 m，MN交OC于点G，
由垂径定理得：OG⊥MN，$MG=\frac{1}{2}MN=1.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMG$中，由勾股定理得：
$OG = \sqrt{OM^2 - MG^2} = \sqrt{3.9^2 - 1.5^2} = 3.6\ \mathrm{m}$，
∴ 船顶MN到水面AB的高度$CG = OG - OC = 3.6 - 1.5 = 2.1\ \mathrm{m}$。
∵ $2.1 ＞ 2$，
∴ 此货船能顺利通过这座桥。
【答案】
此货船能顺利通过这座桥。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用，解题核心是通过合理作辅助线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理，用方程思想求出圆弧半径，再通过分析最优通行情况计算净高，即可得到结论，对学生的建模能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
1. 如图是某钥匙扣的坠体截面示意图，嘉嘉用直尺测量了圆的直径为5 cm，MN长为3 cm，则圆心O到MN的距离为 （
B
）
A.1.5 cm
B.2 cm
C.2.5 cm
D.3 cm
答案：1. B.
解析：
【分析】
要求圆心到弦MN的距离，首先想到垂径定理的应用：过圆心作弦的垂线，既可以平分弦，也能构造出含半径、半弦长、弦心距的直角三角形，再结合勾股定理即可计算出所求距离。
【解析】
过点$O$作$OA⊥ MN$于点$A$。
根据垂径定理，$A$为$MN$的中点，因此：
$MA=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×3=1.5\ \mathrm{cm}$
已知圆的直径为$5\ \mathrm{cm}$，则半径$OM=\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：
$OA^2+MA^2=OM^2$
代入数值计算：
$OA=\sqrt{OM^2-MA^2}=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=\sqrt{6.25-2.25}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{cm}$
即圆心$O$到$MN$的距离为$2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦心距计算的基础题型，核心解题思路是作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，是圆相关性质的典型基础考法。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$\odot O$的直径$AB$垂直于弦$CD$，垂足是$E$，$∠ CAO=22.5°$，$OC=8$，则弦$CD$的长为（
A
）
A.$8\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$8\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$
答案：2. A.
解析：
【分析】
解题时首先结合已知条件“直径AB垂直弦CD”，联想到垂径定理，可得CD=2CE，因此只需计算CE的长度即可求出CD。接下来利用同圆半径相等得到OA=OC，推出△OAC为等腰三角形，结合已知的∠CAO=22.5°，利用三角形外角性质可求出圆心角∠COE的度数。最后在Rt△COE中，利用特殊角的三角函数或勾股定理求出CE的长度，乘以2即可得到CD的长。
【解析】
解：
∵OA和OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO=22.5°，
根据三角形外角的性质，∠COE=∠CAO+∠ACO=22.5°+22.5°=45°。
又
∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
根据垂径定理可得：CE=DE，即CD=2CE。
在Rt△COE中，∠CEO=90°，∠COE=45°，OC=8，
∴CE=OC·sin45°=8×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4$\sqrt{2}$，
∴CD=2CE=2×4$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的关键是结合已知条件推导得到特殊角45°，再结合垂径定理将求CD的长度转化为求CE的长度，是圆章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
