11. 甲、乙两名大学生参加“苏超”(江苏省城市足球联赛)志愿者服务活动. 若有入场引导、后勤服务、秩序维护三个工作岗位,每人的岗位随机分配,求甲、乙两人至少有1人被分配到秩序维护岗位的概率.
答案:解:
记入场引导岗位为A,后勤服务岗位为B,秩序维护岗位为C。
根据题意,甲有3种岗位选择,对甲的每一种选择,乙同样有3种等可能的岗位选择,所有等可能的分配结果共9种,分别为:
$(A,A)$、$(A,B)$、$(A,C)$、$(B,A)$、$(B,B)$、$(B,C)$、$(C,A)$、$(C,B)$、$(C,C)$。
其中满足“甲、乙两人至少有1人被分配到秩序维护岗位”的结果共5种。
因此所求概率为 $P=\frac{5}{9}$。
解析:
【分析】
要解决这个概率问题,首先明确甲、乙两人的岗位分配是等可能的,属于古典概型问题。第一步,计算甲、乙两人所有可能的岗位分配总情况数;第二步,找出“至少1人被分配到秩序维护岗位”的情况数,可通过计算其对立事件(两人都不被分配到秩序维护岗位)的情况数,再用总情况数减去对立事件情况数得到;第三步,根据古典概型概率公式计算所求概率。
【解析】
记入场引导岗位为A,后勤服务岗位为B,秩序维护岗位为C。
甲有3种岗位选择,对甲的每一种选择,乙同样有3种等可能的岗位选择,因此所有等可能的分配结果共 $3 × 3 = 9$ 种,分别为:$(A,A)$、$(A,B)$、$(A,C)$、$(B,A)$、$(B,B)$、$(B,C)$、$(C,A)$、$(C,B)$、$(C,C)$。
“甲、乙两人至少有1人被分配到秩序维护岗位”的对立事件是“两人都未被分配到秩序维护岗位”,即两人都在A或B岗位,这种情况的数量为 $2 × 2 = 4$ 种,因此满足条件的结果数为 $9 - 4 = 5$ 种。
根据古典概型概率公式,所求概率 $P = \frac{5}{9}$。
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
古典概型、概率计算
【点评】
本题是古典概型的基础应用,通过列举法或对立事件法均可快速求解,思路清晰,计算简单,是概率模块的典型基础题,适合巩固古典概型的核心知识点。
【难度系数】
0.7
12. 已知车辆经过某市收费站时,可以在4个收费通道A,B,C,D中随机选择其中的一个通过.
(1)车辆甲经过此收费站时,选择A通道通过的概率是
;
(2)若甲、乙两辆车都要经过此收费站,求甲、乙两车选择不同通道通过的概率.
答案:解:
(1) $\frac{1}{4}$
(2) 用列表法列举所有等可能的结果如下:
| 甲\乙 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由表可知,共有16种等可能的结果,其中甲、乙两车选择不同通道通过的结果有12种,
因此甲、乙两车选择不同通道通过的概率为$\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$。
解析:
【分析】
本题考查概率的计算,解题思路如下:(1)单个车辆选择通道时,4个通道被选中的可能性相等,直接利用概率公式计算;(2)对于两辆车的情况,需用列表法列举所有等可能的结果,再从中找出甲、乙选择不同通道的结果数,最后根据概率公式计算所求概率。
【解析】
(1)车辆甲在A、B、C、D4个通道中随机选择1个,每个通道被选中的概率相等,因此选择A通道通过的概率为$\frac{1}{4}$;
(2)用列表法列举甲、乙两车选择通道的所有等可能结果:
| 甲\乙 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | (D,D) |
由表可知,共有16种等可能的结果,其中甲、乙两车选择不同通道通过的结果有12种,因此甲、乙两车选择不同通道通过的概率为$\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$;(2) $\frac{3}{4}$
【知识点】
概率的计算、列举法求概率
【点评】
本题是基础概率应用题,通过列举所有等可能结果计算概率,方法清晰直观,能帮助学生巩固概率的基本概念和计算方法,属于概率部分的典型基础题。
【难度系数】
0.6
13. 动物学家通过大量的调查,估计某种动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.5,活到30岁的概率为0.3.
(1)现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少?
(2)现年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少?
答案:解:
设共有这种动物a只,
则活到20岁的动物数量为0.8a只,
活到25岁的动物数量为0.5a只,
活到30岁的动物数量为0.3a只。
(1) 现年20岁的这种动物活到25岁的概率为:
$\frac{0.5a}{0.8a} = 0.625$
(2) 现年25岁的这种动物活到30岁的概率为:
$\frac{0.3a}{0.5a} = 0.6$
答:(1) 现年20岁的这种动物活到25岁的概率为0.625;(2) 现年25岁的这种动物活到30岁的概率为0.6。
解析:
【分析】这道题考查条件概率的实际应用,解题思路是:求“现年某年龄的动物活到另一更高年龄的概率”时,样本空间是已经活到当前年龄的动物数量,需用活到目标年龄的动物数量除以活到当前年龄的动物数量,而非初始总动物数量,以此得到正确的条件概率。
【解析】设这种动物总共有$a$只,根据题意:活到20岁的动物数量为$0.8a$只,活到25岁的动物数量为$0.5a$只,活到30岁的动物数量为$0.3a$只。
(1) 现年20岁的动物活到25岁,是在已活到20岁的条件下求概率,因此概率为活到25岁的数量除以活到20岁的数量:$\frac{0.5a}{0.8a}=0.625$;
(2) 现年25岁的动物活到30岁,是在已活到25岁的条件下求概率,因此概率为活到30岁的数量除以活到25岁的数量:$\frac{0.3a}{0.5a}=0.6$。
【答案】(1) 0.625;(2) 0.6
【知识点】条件概率、概率应用
【点评】本题是条件概率的基础应用题,通过动物寿命的实际场景考察对条件概率概念的理解,核心是明确条件概率的样本空间,难度适中,属于概率模块的常规基础题型。
【难度系数】0.5