【分析】要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$求解。解题时首先要将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），准确确定$a、b、c$的取值，再代入判别式公式计算$\Delta$的数值，最后根据$\Delta$的符号对应判断根的情况即可：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。
【解析】首先将原方程移项，化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 - 2\sqrt{6}x + 3 = 0$
可得各项系数：$a=2$，$b=-2\sqrt{6}$，$c=3$
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{6})^2 - 4×2×3 = 24 - 24 = 0$
因为$\Delta=0$，所以该一元二次方程有两个相等的实数根。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】本题是根的判别式的基础应用题，解题核心是先将方程化为标准一般形式，避免符号错误，再牢记判别式取值与根的情况的对应关系即可快速求解。
【难度系数】0.8

【分析】
解题时首先观察题目给出的$a+b+c=0$的条件，可尝试将特殊的x值代入方程左边，发现当$x=1$时，$ax^2+bx+c$的计算结果恰好为$a+b+c$，结合已知条件可推出$x=1$是该一元二次方程的实数根。再回忆一元二次方程根与判别式的关系：只要方程有实数根，判别式$b^2-4ac$就大于等于0，其中两个相等实根时取等号，两个不等实根时取大于号，据此即可判断判别式的取值范围。
【解析】
解：将$x=1$代入方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$左边，可得：
$a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$
∵已知$a+b+c=0$
∴$x=1$是该一元二次方程的一个实数根
∵一元二次方程有实数根时，根的判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$
举例验证：①方程$x^2-2x+1=0$满足$a+b+c=0$，此时$\Delta=0$；②方程$x^2-3x+2=0$满足$a+b+c=0$，此时$\Delta=1＞0$，进一步说明$\Delta$的取值为大于等于0。
因此选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题侧重考察对一元二次方程基础性质的灵活应用，解题关键是快速定位$x=1$是方程的根，无需复杂变形即可推导判别式的范围，能很好的检验学生对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到一元二次方程已知根的情况求参数取值范围的问题，首先想到利用一元二次方程根的判别式求解。首先明确判别式与根的对应关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；再从给定方程中确定a、b、c的取值，代入判别式列出关于m的不等式，最后解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$x^2 - 2x - m = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 根的判别式$\Delta ＞ 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题中$a=1$，$b=-2$，$c=-m$，
则$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-m) = 4 + 4m$，
列不等式得：$4 + 4m ＞ 0$，
解不等式：$4m ＞ -4$，
解得：$m ＞ -1$。
【答案】
$m ＞ -1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题时需准确识别方程中各项的系数，尤其注意常数项的符号，避免计算出错，牢记判别式与根的个数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心依据是根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。因此解题第一步需先将给定的方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确找出$a、b、c$的值，再代入判别式计算，最后结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出根的情况。
【解析】
解：先将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
展开左边得$x^2 - 3x = a^2x$，
移项合并同类项得$x^2 - (3+a^2)x = 0$，
可知该方程的二次项系数为1，一次项系数$b=-(3+a^2)$，常数项$c=0$。
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= [-(3+a^2)]^2 - 4×1×0 \\&= (3+a^2)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知$a^2\ge0$，因此$3+a^2\ge3＞0$，故$\Delta=(3+a^2)^2＞0$。
所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.一元二次方程的一般形式 3.平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程根的情况的判断，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握根的判别式的应用，整理方程为一般形式时注意移项要变号，结合非负数的性质即可快速判断判别式的符号，进而得出结论。
【难度系数】
0.8

【分析】
不解方程判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，解题步骤如下：① 先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式；② 确定对应方程的$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的值，注意要带上系数的符号；③ 代入判别式公式计算$\Delta$的值；④ 根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 对于方程$3x^2 - 2x - 1 = 0$，
$a=3$，$b=-2$，$c=-1$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×3×(-1) = 16 ＞ 0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
(2) 对于方程$5x^2 - 2x + 1 = 0$，
$a=5$，$b=-2$，$c=1$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×5×1 = -16 ＜ 0$，
∴ 该方程没有实数根。
(3) 对于方程$\frac{1}{2}x^2 - 6x = 0$，
$a=\frac{1}{2}$，$b=-6$，$c=0$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×\frac{1}{2}×0 = 36 ＞ 0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
(4) 将方程$x(x - 2\sqrt{3}) = -3$整理为一般形式：$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，
$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3$，
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3 = 0$，
∴ 该方程有两个相等的实数根。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根；
(2) 没有实数根；
(3) 有两个不相等的实数根；
(4) 有两个相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用，解题时需注意先把非一般形式的方程化为标准形式，确定系数时不要遗漏符号，计算判别式时要注意运算准确性，尤其是含平方、根式的运算不要出错。
【难度系数】
0.85