【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题时首先明确一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的各项系数，再直接代入韦达定理公式计算两根之和与两根之积即可，无需解方程求根可简化计算过程，计算时要特别注意两根之和的符号规则。
【解析】
首先确定一元二次方程$x^2 +5x +6=0$的各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=5$，常数项$c=6$。
根据一元二次方程根与系数的关系：若$α、β$是方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根，则$α+β=-\frac{b}{a}$，$αβ=\frac{c}{a}$。
代入系数计算得：
$α+β=-\frac{5}{1}=-5$，
$αβ=\frac{6}{1}=6$。
因此符合条件的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，核心是对韦达定理公式的掌握，解题时要注意区分两根之和的符号，避免因记错公式导致错误，熟练掌握公式后可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

【分析】
遇到已知一元二次方程的一个根求另一个根的题型，有两种解题思路：一是将已知根代入方程求出参数m，再解方程得到另一个根，这种方法计算步骤多，容易出错；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接求解，更为简便。本题优先选择第二种方法：首先确定方程的二次项系数a和一次项系数b，根据韦达定理得到两根之和，再用两根之和减去已知根，即可求出未知根。
【解析】
设方程的另一个根为$x_2$，已知一个根$x_1=1-\sqrt{2}$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2+x+m=0$，可得$a=1$，$b=1$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{1}{1}=-1$
将$x_1=1-\sqrt{2}$代入得：
$x_2=-1 - x_1=-1-(1-\sqrt{2})=-1-1+\sqrt{2}=\sqrt{2}-2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、二次根式的加减运算
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，利用韦达定理求解可避免代入求参数的繁琐步骤，有效减少计算量，是这类题型的首选解题方法，需熟练掌握根与系数的相关公式。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先要明确：小明仅看错了一次项的符号，方程的常数项$m$是没有变化的。因此我们可以先利用小明看错后得到的方程的两个根，通过一元二次方程根与系数的关系求出常数项$m$的值，再将$m$代入原方程，求解原方程即可得到正确结果。
【解析】
小明看错一次项符号后得到的方程为$x^2 + 5x + m = 0$，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项，可得：
$m = x_1 · x_2 = 1 × (-6) = -6$，
将$m=-6$代入原方程，得$x^2 -5x -6 = 0$，
因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=6,x_2=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题考查对根与系数关系的灵活运用，解题核心是抓住“看错一次项符号但常数项不变”这一关键条件，整体难度不高，掌握根与系数的关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时首先明确题目考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路如下：第一步，回忆韦达定理内容：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程有两个实数根$x_1,x_2$，则两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步，结合题目条件“两根之积为负数”，先列出两根之积小于0的不等式，同时要注意韦达定理的使用前提是方程有两个实数根，因此需要验证判别式的取值范围，最终确定$m$的取值。
【解析】
设方程$x^2 + 2x + m - 1 = 0$的两个实数根为$x_1,x_2$，
已知方程二次项系数$a=1≠0$，符合一元二次方程定义：
1. 根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1$，
由题意两根之积为负数，可得：$m-1＜0$，解得$m＜1$；
2. 验证方程根的判别式：$\Delta = b^2-4ac=2^2-4×1×(m-1)=4-4m+4=8-4m$，
当$m＜1$时，$8-4m＞8-4×1=4＞0$，此时方程有两个不相等的实数根，符合题意。
综上，$m$的取值范围是$m＜1$。
【答案】
$m＜1$
【知识点】
根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础应用题，核心是对韦达定理的灵活运用，解题时需注意韦达定理的适用前提是方程存在两个实数根，本题中两根异号的条件已经隐含判别式大于0，可直接通过乘积的正负求解参数范围。
【难度系数】
0.8

【分析】
本题可通过两种思路求解：①优先使用本节所学的一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先设另一个根为$x_2$，根据两根之和的公式先求出另一个根，再通过两根之积的公式求出$p$的值，计算更简便；②也可先将已知根代入原方程求出$p$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根，两种方法均符合学段要求。
【解析】
解法1（韦达定理法）：
设方程$2x^2-5x+p=0$的两个根为$x_1=\frac{1}{2}$、$x_2$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，由根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入$a=2$、$b=-5$、$x_1=\frac{1}{2}$得：
$\frac{1}{2}+x_2=\frac{5}{2}$，解得$x_2=2$
两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入$x_1=\frac{1}{2}$、$x_2=2$、$a=2$、$c=p$得：
$\frac{1}{2}×2=\frac{p}{2}$，解得$p=2$
解法2（代入法）：
将$x=\frac{1}{2}$代入方程$2x^2-5x+p=0$得：
$2×(\frac{1}{2})^2 -5×\frac{1}{2}+p=0$
计算得$\frac{1}{2}-\frac{5}{2}+p=0$，解得$p=2$
将$p=2$代入原方程得$2x^2-5x+2=0$，因式分解得$(2x-1)(x-2)=0$
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=2$，即另一个根为2。
【答案】
另一个根为$\boldsymbol{2}$，$p=\boldsymbol{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础类题型，两种解题方法都需要熟练掌握，使用韦达定理解题可减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.8

【分析】
拿到这道题首先要明确考点是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。解题思路如下：第一步，先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步，为了简化计算，我们可以先取二次项系数$a=1$（只要$a≠0$都符合要求，取1最简便）；第三步，根据已知的两根和与两根积，代入韦达定理公式分别求出一次项系数$b$和常数项$c$，即可得到对应的一元二次方程，若取其他非零的$a$值，也可得到符合要求的方程。
【解析】
设所求一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，它的两个实数根为$x_1、x_2$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\sqrt{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-5$。
我们取最简形式，令二次项系数$a=1$，则：
$-\frac{b}{1}=2\sqrt{2}$，解得$b=-2\sqrt{2}$；
$\frac{c}{1}=-5$，解得$c=-5$。
将$a、b、c$代入一般式，得到方程$x^2 - 2\sqrt{2}x -5 = 0$。
注：若取$a$为其他非零常数，可得到该方程的同解方程，均符合题意。
【答案】
$x^2 - 2\sqrt{2}x -5 = 0$（答案不唯一，二次项系数不为0的该方程的非零整数倍均正确）
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根与系数关系的直接应用，熟练掌握韦达定理的内容即可快速构造出符合要求的方程，解题时注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.9

【分析】
解决这类问题的步骤如下：第一步，若方程不是一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先整理为一般形式，准确找出系数$a、b、c$；第二步，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程是否有实数根：$\Delta≥0$时有实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；第三步，若方程有实数根，直接代入根与系数的关系公式，即可求出两根之和与两根之积。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 6x + 9 = 0$，
$a=1$，$b=-6$，$c=9$，
判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×9 = 0$，
因此方程有两个相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 6$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 9$。
(2) 先将方程整理为一般形式：$x^2 - 3x = 0$，
$a=1$，$b=-3$，$c=0$，
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×0 = 9 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 3$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = 0$。
(3) 对于方程$5x^2 - 6 = 0$，
$a=5$，$b=0$，$c=-6$，
判别式$\Delta = 0^2 - 4×5×(-6) = 120 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 0$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{6}{5}$。
(4) 对于方程$\frac{1}{2}x^2 - 3x - \sqrt{2} = 0$，
$a=\frac{1}{2}$，$b=-3$，$c=-\sqrt{2}$，
判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×\frac{1}{2}×(-\sqrt{2}) = 9 + 2\sqrt{2} ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根。
设方程的两根为$x_1,x_2$，则
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 6$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 有两个相等的实数根，两根和为6，两根积为9；
(2) 有两个不相等的实数根，两根和为3，两根积为0；
(3) 有两个不相等的实数根，两根和为0，两根积为$-\frac{6}{5}$；
(4) 有两个不相等的实数根，两根和为6，两根积为$-2\sqrt{2}$。
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程一般式
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考察根的判别式和韦达定理的直接使用，解题时要注意先将非标准形式的方程化为一般式，确定a、b、c时需留意系数的正负，避免符号错误导致计算结果出错。
【难度系数】
0.8