【分析】
遇到已知一元二次方程两根数量关系求参数的问题，可按以下思路解题：1. 优先利用根与系数的关系（韦达定理）简化计算，先设方程两根为$x_1$、$x_2$，写出两根之和与两根之积的表达式；2. 已知两根之差为4，因无法确定两根大小，转化为$|x_1-x_2|=4$，两边平方后利用完全平方公式变形，将$(x_1-x_2)^2$转化为用两根和、两根积表示的形式，代入韦达定理结果即可得到关于$k$的方程；3. 求解$k$后代回原方程求根，最后验证$k$是否满足方程有两个实根的条件即可。
【解析】
设方程$x^2 - 2kx - 2k - 4 = 0$的两个实数根为$x_1$，$x_2$，
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 2k$，
$x_1x_2 = -2k - 4$。
由题意两根之差为4，即$|x_1 - x_2| = 4$，两边平方得：
$(x_1 - x_2)^2 = 16$，
根据完全平方公式变形可得$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，将韦达定理的结果代入：
$(2k)^2 - 4(-2k - 4) = 16$
整理得：$4k^2 + 8k = 0$，即$k^2 + 2k = 0$，
解得$k_1 = 0$，$k_2 = -2$。
① 当$k=0$时，原方程为$x^2 - 4 = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = -2$；
② 当$k=-2$时，原方程为$x^2 + 4x = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = -4$。
验证得两组解均满足方程有两个实数根的条件。
【答案】
$k$的值为$0$时，方程的根为$2$和$-2$；$k$的值为$-2$时，方程的根为$0$和$-4$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程求解 3. 代数式恒等变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用题型，解题核心是掌握$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$的变形技巧，可将未知的根差条件转化为可代入韦达定理的形式，求解参数后注意验证是否满足方程有实根的前提，熟练掌握该转化方法可提升同类题解题效率。
【难度系数】
0.6

【分析】
要判断是否存在满足条件的一元二次方程，可按以下思路思考：第一步先假设存在符合条件的方程，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为2、两根之积为3时，可构造出二次项系数为1的方程为$x^2-2x+3=0$；第二步验证该方程是否有实数根，只需计算其根的判别式，若判别式$\Delta≥0$则方程有实根，即存在符合条件的方程，若$\Delta＜0$则方程无实根，即不存在符合条件的方程。
【解析】
解：不存在这样的一元二次方程，理由如下：
假设存在满足条件的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，可构造二次项系数为1的对应方程为$x^2 - 2x + 3 = 0$。
计算该方程的根的判别式：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 ＜ 0$
该方程没有实数根，因此不存在两根之和为2，两根之积为3的一元二次方程。
【答案】
不存在这样的一元二次方程。由根与系数关系构造的方程$x^2-2x+3=0$的判别式$\Delta=-8＜0$，没有实数根，故不存在满足条件的一元二次方程。
【知识点】
根与系数的关系、根的判别式、反证法
【点评】
本题考查韦达定理与根的判别式的综合应用，易错点是容易忽略韦达定理的适用前提是方程有实数根，仅通过根的和与积构造方程就直接判定存在，忘记验证判别式。
【难度系数】
0.7