【分析】
要判断方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的三个核心判定条件：①属于整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们只需逐一核对四个选项是否同时满足这三个条件，即可选出符合题意的答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，逐个分析选项：
A. 方程$\sqrt{3}y^2 + 3y = 2$仅含未知数$y$，$y$的最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程；
B. 先化简方程$(x+3)(x-3)+4=0$，展开得$x^2-9+4=0$，即$x^2-5=0$，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，是整式方程，属于一元二次方程；
C. 方程$\frac{1}{x^2}=x+2$的分母含未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，因此不属于一元二次方程；
D. 方程$x^2 + x - 2 = 0$仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程。
综上，不是一元二次方程的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式与分式方程区分
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题，解题核心是熟练掌握一元二次方程的判定条件，尤其要注意首先判断方程是否为整式方程，避免因忽略分母含未知数的情况出错。
【难度系数】
0.9

【分析】
求解该一元二次方程时，注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的解题思路是先通过移项将方程右侧化为0，再对左侧多项式因式分解，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理求解方程的根，最后对应选项选择即可。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x^2 - x = 0$
提取公因式$x$，得：
$x(x - 1) = 0$
根据乘积为0的因式性质，可得：
$x = 0$ 或 $x - 1 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = 1$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程求解
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接两边除以x导致漏解，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

【分析】
要确定a的取值范围，需结合一元二次方程的定义思考：一元二次方程必须满足未知数的最高次数为2，即二次项不能消失，因此二次项的系数不能为0。本题中方程的二次项系数为(a-2)，只需令该系数不等于0，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为$Ax^2+Bx+C=0$（$A$、$B$、$C$为常数，且$A≠0$），其中$A$为二次项系数。
已知方程$(a-2)x^2 -3x +1=0$是一元二次方程，因此其二次项系数不能为0，即：
$a-2≠0$
解得：$a≠2$
【答案】
$a≠2$
【知识点】
一元二次方程的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考察对一元二次方程定义的理解，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含要求，掌握核心定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入原方程等式成立，可得关于m的等式$2m^2 - m = 9$；再将所求的代数式$(m - 1)(2m + 1)$展开化简，观察化简后的式子与刚才得到的等式的联系，最后用整体代入法计算即可，不需要求出m的具体值，能简化运算。
【解析】
∵ 一元二次方程$2x^2 - x - 9 = 0$的一个实数根为$m$，
∴ 将$x=m$代入方程得：$2m^2 - m - 9 = 0$，即$2m^2 - m = 9$。
先化简代数式$(m - 1)(2m + 1)$：
$(m - 1)(2m + 1)=2m^2 + m - 2m - 1=2m^2 - m - 1$，
将$2m^2 - m = 9$代入上式得：
原式$=9 - 1=8$。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 多项式乘多项式
3. 整体代入求值
【点评】
本题是常见的代数式求值类基础题，核心考查对一元二次方程根的定义的理解，运用整体代入的方法可避开求解方程根的复杂运算，大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8

【分析】
首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路如下：第一步对给出的方程进行去括号运算（有括号的情况）；第二步将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，移项注意变号；第三步合并同类项，整理得到一般形式；最后对应识别各项系数，注意系数要包含前面的符号，若不存在一次项则一次项系数为0，不存在常数项则常数项为0。
【解析】
(1) 移项，得一元二次方程的一般形式：$\sqrt{2}x^2 -5x -1=0$
二次项系数为$\sqrt{2}$，一次项系数为$-5$，常数项为$-1$。
(2) 去括号，得$4x^2 -12 = x +1$，移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式：$4x^2 -x -13=0$
二次项系数为$4$，一次项系数为$-1$，常数项为$-13$。
(3) 去括号，得$2x^2 -2x = x^2$，移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式：$x^2 -2x =0$
二次项系数为$1$，一次项系数为$-2$，常数项为$0$。
(4) 去括号，得$x^2 -6x +9 +x^2 +6x =0$，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：$2x^2 +9=0$
二次项系数为$2$，一次项系数为$0$，常数项为$9$。
【答案】
(1) 一般形式：$\sqrt{2}x^2 -5x -1=0$，二次项系数$\sqrt{2}$，一次项系数$-5$，常数项$-1$；
(2) 一般形式：$4x^2 -x -13=0$，二次项系数$4$，一次项系数$-1$，常数项$-13$；
(3) 一般形式：$x^2 -2x =0$，二次项系数$1$，一次项系数$-2$，常数项$0$；
(4) 一般形式：$2x^2 +9=0$，二次项系数$2$，一次项系数$0$，常数项$9$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式的混合运算
3. 移项法则
【点评】
本题是一元二次方程的基础考查题，重点要求学生掌握一元二次方程一般形式的改写方法，解题过程中要注意运算规则的正确使用，尤其不要忽略各项系数的符号，以及缺失项的系数为0的情况。
【难度系数】
0.8