5. 画出反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象，结合图象回答：
(1) 当$1＜ x≤ 4$时，$y$的取值范围；
(2) 当$-1≤ y＜ 4(y≠ 0)$时，$x$的取值范围。
答案：解：
反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象是分布在第二、四象限的两支双曲线，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
(1) 当$x=1$时，$y=-\dfrac{6}{1}=-6$；
当$x=4$时，$y=-\dfrac{6}{4}=-\dfrac{3}{2}$。
$\because$ 当$1＜x≤4$时，对应图象在第四象限，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore y$的取值范围是$-6＜y≤-\dfrac{3}{2}$。
(2) 当$y=-1$时，代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$-1=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=6$；
当$y=4$时，代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$4=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$。
结合图象：
当$-1≤ y＜0$时，对应第四象限的部分，可得$x≥6$；
当$0＜y＜4$时，对应第二象限的部分，可得$x＜-\dfrac{3}{2}$。
$\therefore x$的取值范围是$x＜-\dfrac{3}{2}$或$x≥6$。
解析：
【分析】
首先明确反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$的基本性质：比例系数$k=-6＜0$，因此图象是分布在第二、四象限的双曲线，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。解决第(1)问时，先判断$1＜x≤4$对应的是第四象限的图象，代入区间端点的$x$值求出对应$y$值，再结合增减性就能得到$y$的取值范围；解决第(2)问时，由于$y$的取值范围包含正、负两种情况（$y≠0$），需分$-1≤ y＜0$、$0＜y＜4$两种情况，分别对应第四、第二象限的图象，代入端点$y$值求出对应$x$值，结合增减性分别得到$x$的范围后合并结果即可。
【解析】
反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象是分布在第二、四象限的两支双曲线，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
(1) 当$x=1$时，$y=-\dfrac{6}{1}=-6$；
当$x=4$时，$y=-\dfrac{6}{4}=-\dfrac{3}{2}$。
$\because$ 当$1＜x≤4$时，对应图象在第四象限，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore y$的取值范围是$-6＜y≤-\dfrac{3}{2}$。
(2) 当$y=-1$时，代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$-1=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=6$；
当$y=4$时，代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$4=-\dfrac{6}{x}$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$。
结合图象：
当$-1≤ y＜0$时，对应第四象限的部分，可得$x≥6$；
当$0＜y＜4$时，对应第二象限的部分，可得$x＜-\dfrac{3}{2}$。
$\therefore x$的取值范围是$x＜-\dfrac{3}{2}$或$x≥6$。
【答案】
(1) $-6＜y≤-\dfrac{3}{2}$；
(2) $x＜-\dfrac{3}{2}$或$x≥6$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 函数取值范围求解
3. 数形结合思想
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的实际应用，解题时要注意反比例函数的图象是分两支分布在不同象限的，讨论取值范围时需分象限结合增减性分析，尤其当因变量的取值范围跨正负数时，要分情况讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7
6. 如图是反比例函数$y=\frac{\sqrt{5}-k}{x}$的图象的一支，根据图象回答问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数k的取值范围是什么？
（2）若点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$均在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且$x_1＜x_2$，比较$y_1,y_2$的大小关系。
答案：解：
(1) 反比例函数的图象关于原点中心对称，由图可知已知的一支位于第二象限，因此图象的另一支位于第四象限。
由反比例函数图象分布在第二、四象限，可得比例系数小于0：
$\sqrt{5}-k ＜ 0$
解得 $k ＞ \sqrt{5}$。
(2) 由(1)知 $k ＞ \sqrt{5} ＞ 0$，因此反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
分三种情况比较大小：
① 当 $x_1 ＜ x_2 ＜ 0$ 时，点$M$、$N$都在第三象限，可得 $y_1 ＞ y_2$；
② 当 $0 ＜ x_1 ＜ x_2$ 时，点$M$、$N$都在第一象限，可得 $y_1 ＞ y_2$；
③ 当 $x_1 ＜ 0 ＜ x_2$ 时，点$M$在第三象限（$y_1＜0$），点$N$在第一象限（$y_2＞0$），可得 $y_1 ＜ y_2$。
解析：
【分析】
解决本题需结合反比例函数的核心性质逐步推导：① 反比例函数图象为双曲线，两支关于原点中心对称，比例系数的符号决定图象所在象限；② 反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，跨象限比较函数值时需结合正负判断。
第(1)问：先由已知图象在第二象限，结合对称性得另一支所在象限，再根据图象分布对应的比例系数符号列不等式求解k的范围。
第(2)问：先根据k的取值判断$y=\frac{k}{x}$的图象分布和增减性，再分$x_1,x_2$同负、同正、异号三类情况分别比较$y_1,y_2$的大小。
【解析】
(1) 反比例函数的图象关于原点中心对称，由图可知已知的一支位于第二象限，因此图象的另一支位于第四象限。
当反比例函数图象分布在第二、四象限时，比例系数小于0，可得：
$\sqrt{5}-k ＜ 0$
解得 $k ＞ \sqrt{5}$。
(2) 由(1)知 $k ＞ \sqrt{5} ＞ 0$，因此反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，分三种情况讨论：
① 当 $x_1 ＜ x_2 ＜ 0$ 时，点$M$、$N$都在第三象限，可得 $y_1 ＞ y_2$；
② 当 $0 ＜ x_1 ＜ x_2$ 时，点$M$、$N$都在第一象限，可得 $y_1 ＞ y_2$；
③ 当 $x_1 ＜ 0 ＜ x_2$ 时，点$M$在第三象限（$y_1＜0$），点$N$在第一象限（$y_2＞0$），可得 $y_1 ＜ y_2$。
【答案】
(1) 图象的另一支位于第四象限，$k＞\sqrt{5}$；
(2) 当$x_1＜x_2＜0$或$0＜x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$；当$x_1＜0＜x_2$时，$y_1＜y_2$。
【知识点】
反比例函数的图象与性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查反比例函数的图象特征和增减性的应用，易错点是比较函数值大小时忽略自变量的正负，遗漏跨象限的情况，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。
【难度系数】
0.6
