【分析】
要判断△DOE的形状，首先根据圆的性质可知同圆的半径相等，即OD=OE，因此△DOE首先是等腰三角形，接下来只需证明该等腰三角形有一个内角为60°即可得出它是等边三角形。推导角度时，先利用等边△ABC的性质得到∠B、∠C均为60°，再结合OB=OD、OC=OE，可判定△OBD和△OCE都是等边三角形，得到∠DOB、∠EOC的度数，最后利用平角为180°即可求出∠DOE的度数，完成判定。
【解析】
△DOE是等边三角形，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B = ∠C = 60°。
∵ OB、OD、OE、OC都是⊙O的半径，
∴ OB = OD，OE = OC，
∴ △OBD和△OCE都是有一个内角为60°的等腰三角形，
∴ △OBD、△OCE均为等边三角形，
∴ ∠DOB = 60°，∠EOC = 60°，
∴ ∠DOE = 180° - ∠DOB - ∠EOC = 180° - 60° - 60° = 60°。
又
∵ OD = OE，
∴ △DOE是等边三角形。
【答案】
△DOE是等边三角形
【知识点】
等边三角形的判定与性质；圆的基本性质；角度计算
【点评】
本题是圆与等边三角形结合的基础题型，重点考查对几何基础性质的综合运用能力，解题的突破口是借助同圆半径相等的性质，结合已知等边三角形的条件推导角度，属于常考的基础类几何证明题。
【难度系数】
0.75

【分析】
我们可以通过构造直角三角形结合勾股定理求解：1. 设⊙O的半径为$r$，大正方形$ABCD$的边长为$a$，先根据小正方形面积求出其边长为4；2. 连接$OB$、$OF$，二者均为圆的半径，长度相等；3. 结合正方形和圆的对称性，分别表示出$Rt△ OAB$和$Rt△ OGF$的两条直角边，根据勾股定理分别列出关于$r$、$a$的等式，联立求解得到$a$的值后即可算出半径$r$。
【解析】
设⊙O的半径为$r$，大正方形$ABCD$的边长为$a$。
∵ 小正方形的面积为16，
∴ 小正方形的边长为$\sqrt{16}=4$。
连接$OB$、$OF$，则$OB=OF=r$。
根据正方形和圆的对称性可得：
在$Rt△ OAB$中，$OA=\frac{a}{2}$，$AB=a$，由勾股定理得：
$OB^2=OA^2+AB^2$，即$r^2=(\frac{a}{2})^2+a^2=\frac{5a^2}{4}$ ①。
在$Rt△ OGF$中，$OG=OD+DG=\frac{a}{2}+4$，$GF=4$，由勾股定理得：
$OF^2=OG^2+GF^2$，即$r^2=(\frac{a}{2}+4)^2+4^2$ ②。
联立①②得：$\frac{5a^2}{4}=(\frac{a}{2}+4)^2+16$，
展开整理得：$a^2-4a-32=0$，
因式分解得：$(a-8)(a+4)=0$，
解得$a=8$（边长为正数，$a=-4$舍去）。
将$a=8$代入①得：$r^2=\frac{5×8^2}{4}=80$，
∴ $r=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$（半径为正，舍去负根）。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，正方形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题关键是利用圆半径相等的性质结合勾股定理建立方程，考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6