1. 判断下列结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1) 半圆是弧，弧是半圆； (
)
(2) 弦是直径，直径是弦； (
)
(3) 过圆心的线段是直径； (
)
(4) 面积相等的两个圆是等圆。 (
)
答案：解：
(1) ×
(2) ×
(3) ×
(4) √
解析：
【分析】
本题考查圆的相关基础概念的辨析，解题时需逐个回忆弧、弦、直径、等圆的定义，对比每个结论的表述是否符合定义即可判断对错：
1. 判断第(1)题时，先明确弧的分类：弧分为优弧、半圆、劣弧，半圆只是弧的其中一类，因此可判断结论正误；
2. 判断第(2)题时，明确弦和直径的包含关系：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径，即可判断；
3. 判断第(3)题时，紧扣直径的两个必备条件：过圆心、两端点在圆上，缺一不可，即可判断；
4. 判断第(4)题时，结合圆的面积公式推导半径的关系，再根据等圆的定义判断即可。
【解析】
(1) 半圆是直径所对的弧，属于弧的一种，但弧还包括长度小于半圆的劣弧和长度大于半圆的优弧，因此弧不一定是半圆，结论错误；
(2) 弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，因此不是所有弦都是直径，仅后半句“直径是弦”表述正确，整体结论错误；
(3) 直径的定义为：经过圆心，且两个端点都在圆上的线段。若线段仅过圆心，端点不在圆上，则不属于直径，结论错误；
(4) 由圆的面积公式$S=π r^2$可知，面积相等的两个圆半径相等，半径相等的两个圆是等圆，结论正确。
【答案】
(1)×；(2)×；(3)×；(4)√
【知识点】
圆的基本概念；弦与直径的定义；等圆的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对圆相关基础概念的准确理解，解题的核心是区分相近概念的差异，牢记各概念的限制条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2. 小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定错误的是（
）
A.4
B.5
C.10
D.11
答案：D
解析：
【分析】
拿到这道题首先要明确考查的是圆中弦长的取值范围相关知识，我们可以按以下思路思考：第一步回忆圆的核心性质：直径是圆内最长的弦，所有弦的长度都不可能超过直径的长度；第二步根据已知的半径计算出直径的长度；第三步将各选项的弦长和直径长度对比，超出直径长度的测量结果一定错误。
【解析】
解：已知圆的半径为5，因此该圆的直径为 $ 2 × 5 = 10 $。
根据圆的性质：直径是圆内最长的弦，因此圆内任意弦AB的长度满足关系 $ 0 ＜ AB ≤ 10 $。
观察各选项：A选项4、B选项5、C选项10都在上述取值范围内，只有D选项11大于10，不可能是该圆的弦长，因此测量结果11一定错误。
【答案】
D
【知识点】
1. 弦的性质
2. 直径与半径的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记“直径是圆内最长的弦”这一性质，掌握该知识点即可快速完成判断。
【难度系数】
0.9
3. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是AC的中点，已知OD=3，则BC=
。
（第3题）（第4题）
答案：$\boldsymbol{6}$
解析：
【分析】
解题时先梳理已知条件：AB是⊙O的直径，因此圆心O是AB的中点，同时题目给出D是AC的中点，两个中点对应三角形中位线的判定条件，可判断OD是△ABC的中位线，再根据中位线的性质即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，O为圆心，
∴O是AB的中点，
又
∵D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，可得$BC=2OD$，
已知$OD=3$，
∴$BC=2×3=6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
三角形中位线定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，将圆的基本性质和三角形中位线定理结合考查，解题关键是准确识别中位线，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$\odot O$的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若$DE=OB$，$∠ AOC=87°$，则$∠ E=$
°。
答案：$\boldsymbol{29}$
解析：
【分析】
解题时首先连接OD，利用圆的半径都相等的性质，结合已知DE=OB可得OD=DE，再利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角等于不相邻两内角和的性质，推导出∠AOC与∠E的倍数关系，代入数值即可求出∠E的度数。
【解析】
连接OD，
∵ OB、OD、OC均为⊙O的半径，
∴ OB=OD=OC，
又
∵ DE=OB，
∴ DE=OD，
∴ △ODE为等腰三角形，∠DOE=∠E，
设∠E=x，则∠DOE=x，
根据三角形外角性质，∠ODC=∠DOE+∠E=2x，
∵ OC=OD，
∴ △OCD为等腰三角形，∠OCD=∠ODC=2x，
又
∵ ∠AOC是△OCE的外角，
∴ ∠AOC=∠OCD+∠E=2x+x=3x，
已知∠AOC=87°，即3x=87°，
解得x=29°，即∠E=29°。
【答案】
29
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形角度计算的结合题，核心是通过连接半径构造等腰三角形，利用角的和差关系建立等量关系求解，掌握辅助线的构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径OA，OB分别交小圆于点C，D.连接AD，BC.AD与BC相等吗？为什么？
答案：解：AD与BC相等，理由如下：
∵ 点O是两个同心圆的圆心，
∴ OA、OB是大圆的半径，得 $OA=OB$；
OC、OD是小圆的半径，得 $OC=OD$。
在$△ AOD$和$△ BOC$中：
$\begin{cases}OA = OB \\∠ AOD = ∠ BOC \\OD = OC\end{cases}$
∴ $△ AOD ≌ △ BOC$（SAS），
∴ $AD = BC$。
解析：
【分析】
要判断AD和BC是否相等，可考虑证明两条线段所在的三角形全等。结合同心圆的性质：同一圆心的大圆半径相等、小圆半径相等，可得OA=OB，OC=OD；又观察到△AOD和△BOC有公共夹角∠AOD=∠BOC，因此可通过SAS判定两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
AD与BC相等，理由如下：
∵ 点O是两个同心圆的圆心，
∴ OA、OB是大圆的半径，得 $OA=OB$；
OC、OD是小圆的半径，得 $OC=OD$。
在$△ AOD$和$△ BOC$中：
$\begin{cases}OA = OB \\∠ AOD = ∠ BOC \\OD = OC\end{cases}$
∴ $△ AOD ≌ △ BOC$（SAS），
∴ $AD = BC$。
【答案】
AD与BC相等。
【知识点】
1. 同心圆的性质
2. 全等三角形SAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形全等结合的基础题型，解题核心是抓住同心圆半径相等的特点，找到全等所需的对应边相等的条件，结合公共角即可快速证明全等，进而得到线段相等的结论。
【难度系数】
0.8
