5. 校园里有一块矩形空地，空地上有三棵树A,B,C，现想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.
（1）请你把花坛的位置找出来（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
（2）在花坛内（或外）任找一点D，能否作出过点A,B,C,D的圆？为什么？
答案：解：
(1) 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA的长为半径作圆，⊙O即为所求的圆形花坛，保留两条垂直平分线和圆的作图痕迹。
(2) 不能作出过点A,B,C,D的圆。
理由：不在同一直线上的三个点确定一个圆，因此A、B、C三点确定唯一的圆，也就是(1)中所作的圆形花坛对应的圆。点D在花坛内（或外），说明点D不在A、B、C三点所确定的这个圆上，因此不存在同时经过A、B、C、D四个点的圆。
解析：
【分析】
（1）要让三棵树都在花坛边上，就是要作同时经过A、B、C三点的圆，也就是△ABC的外接圆。三角形外接圆的圆心是三角形任意两边垂直平分线的交点，该点到三个顶点的距离相等，因此只需作出AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心O，再以O为圆心、OA为半径作圆即可。
（2）思考第二问时，先明确确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定唯一的圆。A、B、C三点已经确定了唯一的圆，点D在花坛内或外，说明D不在这个已确定的圆上，因此不可能存在同时经过四个点的圆。
【解析】
（1）①分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O；②以O为圆心，OA的长为半径作圆，⊙O即为所求的圆形花坛，作图保留两条垂直平分线和圆的痕迹即可。
（2）不能作出过点A,B,C,D的圆。理由：不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆，因此A、B、C三点确定的圆就是（1）中所作的⊙O。点D在花坛内（或外），说明D不在⊙O上，因此不存在同时经过A、B、C、D四个点的圆。
【答案】
(1) 作线段AB、BC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA长为半径作的⊙O即为所求，保留作图痕迹；
(2) 不能，因为不在同一直线上的三个点确定唯一的圆，A、B、C三点确定的圆为(1)中所作的圆，点D在该圆内（或外），不在圆上，因此不存在同时过A、B、C、D四点的圆。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 线段垂直平分线的性质
3. 尺规作图
【点评】
本题结合实际场景考查三角形外接圆的作法和三点定圆的性质，侧重对基础概念和基础作图能力的考查，要求熟练掌握过不共线三点作圆的方法，理解三点定圆的唯一性。
【难度系数】
0.8
6. 如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接等边三角形，$\odot O$的半径$OD$，$OE$分别交$BC$，$CA$于点$F$，$G$，$∠ DOE=120°$. 探索四边形$OFCG$的面积(图中阴影部分)与$△ ABC$面积之间的数量关系，并说明理由.(提示:连接$OB$，$OA$)
答案：解：$S_{四边形OFCG}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，理由如下：
连接OA、OB。
∵ $△ ABC$是$\odot O$的内接等边三角形，
∴ $AB=BC=CA$，
∴ $∠ AOB=\frac{1}{3}×360°=120°$，
$OA=OB=OC$，$∠ OAB=∠ OBA=∠ OBC=∠ OCB=30°$，
∴ $∠ OAG=∠ OBF=30°$。
又∵ $∠ DOE=120°$，
∴ $∠ AOB=∠ DOE$，
即 $∠ AOG + ∠ GOB = ∠ BOF + ∠ GOB$，
∴ $∠ AOG=∠ BOF$。
在$△ AOG$和$△ BOF$中：
$\begin{cases}∠ OAG=∠ OBF \\OA=OB \\∠ AOG=∠ BOF\end{cases}$
∴ $△ AOG ≌ △ BOF$（ASA），
∴ $S_{△ AOG}=S_{△ BOF}$，
∴ $S_{四边形OFCG}=S_{△ OAC}$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，$OA=OB=OC$，
∴ $S_{△ OAB}=S_{△ OBC}=S_{△ OAC}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{四边形OFCG}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$。
解析：
【分析】
要探索四边形$OFCG$和$△ ABC$的面积关系，首先结合提示连接$OA$、$OB$，利用等边三角形内接于圆的性质，可知$△ OAB$、$△ OBC$、$△ OAC$面积相等，均为$△ ABC$面积的$\frac{1}{3}$。接下来观察到$∠ DOE=120°$，与等边三角形对应的圆心角$∠ AOB$度数相等，通过角的和差关系可得一组相等的角，再结合半径相等、对应底角相等的条件，证明$△ AOG ≌ △ BOF$，将$△ AOG$的面积转化为$△ BOF$的面积，即可把阴影部分的面积转化为$△ OAC$的面积，最终得到两者的数量关系。
【解析】
$S_{四边形OFCG}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，理由如下：
连接$OA$、$OB$。
∵ $△ ABC$是$\odot O$的内接等边三角形，
∴ $AB=BC=CA$，
∴ $∠ AOB=\frac{1}{3}×360°=120°$，
$OA=OB=OC$，$∠ OAB=∠ OBA=∠ OBC=∠ OCB=30°$，
∴ $∠ OAG=∠ OBF=30°$。
又
∵ $∠ DOE=120°$，
∴ $∠ AOB=∠ DOE$，
即 $∠ AOG + ∠ GOB = ∠ BOF + ∠ GOB$，
∴ $∠ AOG=∠ BOF$。
在$△ AOG$和$△ BOF$中：
$\begin{cases}∠ OAG=∠ OBF \\OA=OB \\∠ AOG=∠ BOF\end{cases}$
∴ $△ AOG ≌ △ BOF$（ASA），
∴ $S_{△ AOG}=S_{△ BOF}$，
∴ $S_{四边形OFCG}=S_{△ OAC}$。
∵ $△ ABC$是等边三角形，$OA=OB=OC$，
∴ $S_{△ OAB}=S_{△ OBC}=S_{△ OAC}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，
∴ $S_{四边形OFCG}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$。
【答案】
$S_{四边形OFCG}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$
【知识点】
等边三角形性质、全等三角形判定与性质、圆的基本性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将不规则的阴影部分面积转化为规则的三角形面积，考查了学生对几何性质的综合运用能力和图形转化思维。
【难度系数】
0.7
