【分析】
解决本题的核心思路是：①遇到圆的切线，首先连接圆心和切点，利用切线的性质得到垂直关系，构造直角三角形；②结合半径相等得到等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质求出圆心角∠COP的度数；③最后在直角三角形中利用内角和关系求出∠P的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴ OA=OC，
∴ $∠ OCA = ∠ A = 35°$，
由三角形外角的性质可得：$∠ COP = ∠ A + ∠ OCA = 35° + 35° = 70°$，
∵ CP是$\odot O$的切线，C为切点，
∴ OC⊥CP，即$∠ OCP = 90°$，
在$Rt△ OCP$中，$∠ P = 90° - ∠ COP = 90° - 70° = 20°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型基础题型，解题的关键是掌握“遇切线，连半径，得直角”的常用辅助线作法，结合三角形的角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
切线的判定定理为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。本题中M已在⊙O上，OM是⊙O的半径，因此只需判断各选项能否推出OM⊥PM（即∠OMP=90°），即可确定能否判定PM是切线。
【解析】
要判定PM是⊙O的切线，需证明∠OMP=90°，逐一分析选项：
A. 在△OMP中，内角和为180°，已知∠O+∠P=90°，则∠OMP=180°-(∠O+∠P)=90°，可得OM⊥PM，能判定PM是切线，不符合题意；
B. 已知∠O+∠P=∠OMP，结合三角形内角和180°，可得∠OMP+∠OMP=180°，解得∠OMP=90°，可得OM⊥PM，能判定PM是切线，不符合题意；
C. 由$OM^2+PM^2=OP^2$，根据勾股定理的逆定理，可得△OMP是直角三角形，且∠OMP=90°，可得OM⊥PM，能判定PM是切线，不符合题意；
D. 点N是OP中点，仅能得到$OM=ON=\frac{1}{2}OP$，无法推出∠OMP=90°，不能判定PM是切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定、勾股定理逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题时要先明确切线的判定核心条件，结合三角形的性质逐一分析选项即可，注意题目要求选“不能判定”的选项，避免审题失误。
【难度系数】
0.7

【分析】
遇到切线相关的问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先作辅助线连接OB、OC，可得∠ABO和∠ACO均为90°。接下来在四边形ABOC中，利用四边形内角和为360°，结合已知的∠A=80°，即可求出圆心角∠BOC的度数。最后∠D是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，就能算出∠D的大小。
【解析】
解：连接OB、OC。
∵AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，即∠ABO=∠ACO=90°。
∵四边形ABOC的内角和为360°，
∴∠BOC + ∠A + ∠ABO + ∠ACO = 360°，
代入∠A=80°，得∠BOC=360° - 80° - 90° - 90°=100°。
∵∠D是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，∠D=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×100°=50°。
【答案】
$\boldsymbol{50}$
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是通过连接圆心和切点构造直角，再结合四边形内角和与圆周角定理逐步推导，解题思路清晰，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题时先利用直径所对圆周角为直角，结合已知∠BAC=2∠B求出∠B的度数；再根据圆周角定理得到圆心角∠AOC的度数，可证△AOC为等边三角形，得AC=OA；接着利用切线的性质得到∠OAP=90°，在Rt△OAP中结合已知PA的长度解直角三角形求出OA的长，即可得到AC的长度。
【解析】
1.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∠BAC+∠B=90°，
又
∵∠BAC=2∠B，
∴2∠B+∠B=90°，解得∠B=30°。
2. 根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOC=2∠B=60°，
又
∵OA=OC（都是⊙O的半径），
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OA。
3.
∵AP是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，即∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，∠AOP=60°，
∴∠P=30°，
∴OP=2OA，
由勾股定理得：$OA^2 + PA^2 = OP^2$，代入$PA=\sqrt{3}$，$OP=2OA$，
得$OA^2 + (\sqrt{3})^2 = (2OA)^2$，即$OA^2 +3=4OA^2$，
解得$OA^2=1$，
∵OA＞0，
∴OA=1。
4. 由△AOC是等边三角形得AC=OA=1。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
圆周角定理；切线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质和特殊三角形的判定、性质结合考查，解题的关键是找到角度之间的关系，推出特殊角，再结合直角三角形的性质计算，需要熟练掌握各知识点的关联运用。
【难度系数】
0.7