【分析】
（1）判断直线与圆是否相切，核心是验证圆心到直线的距离等于圆的半径。本题已知EO平分∠AEF，且AC是⊙O的切线、OA⊥AC，因此可过点O作OH⊥EF于H，利用角平分线的性质证明OH=OA（OA是⊙O的半径），即可判定EF与⊙O相切。
（2）求⊙O的半径，需先求出直径AB的长度。由AC、BD都是⊙O的切线可得AB⊥AC、AB⊥BD，因此过点E作EG⊥BD于G，可得到矩形ABGE，即AB=EG，只需计算EG的长度即可。结合切线长定理可得EF=AE+BF，GF=BF-AE，再在Rt△EGF中用勾股定理求出EG，即可得到AB的长度，进而求出半径。
【解析】
(1) EF与$\odot O$相切，理由如下：
过点$O$作$OH ⊥ EF$于点$H$。
$\because AC$是$\odot O$的切线，切点为$A$，
$\therefore OA ⊥ AC$。
$\because EO$平分$∠ AEF$，$OH ⊥ EF$，$OA ⊥ AE$，
$\therefore OA=OH$。
又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore OH$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$与$\odot O$相切。
(2) 过点$E$作$EG ⊥ BD$，垂足为$G$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$AC$、$BD$是$\odot O$的切线，
$\therefore AB ⊥ AC$，$AB ⊥ BD$，
$\therefore$ 四边形$ABGE$是矩形，
$\therefore EG=AB$，$BG=AE=4$。
$\therefore GF=BF - BG=9-4=5$。
$\because AC$、$EF$、$BD$都是$\odot O$的切线，
$\therefore EH=AE=4$，$FH=BF=9$，
$\therefore EF=EH+FH=4+9=13$。
在$\mathrm{Rt}△ EGF$中，
$EG=\sqrt{EF^2 - GF^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$，
$\therefore AB=EG=12$，
$\therefore \odot O$的半径为$\dfrac{1}{2}AB=6$。
【答案】
（1）EF与$\odot O$相切；（2）$\odot O$的半径为6
【知识点】
切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是圆相关的基础综合题，第一问考查切线的判定，熟练掌握“作垂直、证半径”的判定思路是解题的核心；第二问结合了矩形性质、切线长定理和勾股定理，需要学会通过作辅助线构造直角三角形转化线段关系，是圆与几何综合的典型考法，能有效巩固切线相关的核心知识。
【难度系数】
0.65

【分析】
解题时可按以下步骤思考：①首先结合正方形的性质，判断AD、BC都是半圆O的切线，已知CE也是半圆的切线，根据切线长定理可以得到AE=EF、BC=CF，这是线段转化的基础；②利用△CDE的周长为12，将EC拆成EF+FC，再替换成AE+BC，就能把△CDE的周长转化为AD+CD+BC，也就是3倍正方形边长，由此求出正方形的边长；③要求直角梯形ABCE的周长，还需要知道AE的长度，设AE为x，用含x的式子表示出ED、EC的长度，在Rt△CDE中用勾股定理列方程求解得到x的值；④最后将梯形ABCE的各边长度相加即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=90°，
∴ AD切半圆O于点A，BC切半圆O于点B。
∵ EC切半圆O于点F，
由切线长定理得：AE=EF，BC=CF。
∵ △CDE的周长为12，
∴ DE + CD + EC = 12，
即 DE + CD + EF + FC = 12，
代入EF=AE，FC=BC，得：
DE + CD + AE + BC = 12，
整理得 (DE+AE) + CD + BC = AD + CD + BC = 12。
设正方形边长为a，由AD=CD=BC=a，得3a=12，
解得a=4，即正方形边长为4。
设AE=x，则EF=x，ED=AD-AE=4-x，EC=EF+CF=x+4。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
ED² + CD² = EC²，
即 (4-x)² + 4² = (x+4)²，
展开整理得16x=16，解得x=1，即AE=1。
∴ 直角梯形ABCE的周长为：
AB + BC + CE + AE = 4 + 4 + (1+4) + 1 = 14。
【答案】
14
【知识点】
切线长定理，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合计算题，核心是运用切线长定理完成线段的等量转化，先求出正方形边长，再通过勾股定理构建方程求解未知线段长度，注重考查转化思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.6

【分析】
要作出满足要求的⊙O，需先确定圆心和半径：
1. 圆与AC、AB两边都相切，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知圆心必然在∠BAC的角平分线上，此时圆心到AC、AB的距离相等，即为圆的半径；
2. 圆需要经过AB的中点D，因此圆心到D的距离等于半径。结合垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作AD的垂直平分线，该线上的点到A、D的距离相等，它与∠BAC角平分线的交点就是圆心O，此时OD的长度即为半径，以此作圆即可满足所有条件。
【解析】
1. 用尺规作图取边AB的中点D；
2. 作∠BAC的角平分线；
3. 作线段AD的垂直平分线，该垂直平分线与∠BAC的角平分线的交点即为圆心O；
4. 以O为圆心，OD的长度为半径作圆，所得的⊙O即为所求，保留上述所有作图痕迹。
【答案】
按上述步骤作图，保留作图痕迹即可，具体步骤：
1. 取边AB的中点D；
2. 作∠BAC的角平分线；
3. 作线段AD的垂直平分线，该垂直平分线与∠BAC的角平分线的交点即为圆心O；
4. 以O为圆心，OD的长度为半径作圆，所得的⊙O即为所求。
【知识点】
尺规作图；角平分线的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是尺规作图的综合应用题目，解题核心是结合切线的性质和点在圆上的条件，利用角平分线、垂直平分线的性质准确定位圆心，需要熟练掌握基本尺规作图的操作，理清作图的逻辑依据。
【难度系数】
0.6