6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，内切圆$\odot I$分别与$BC$，$AC$，$AB$相切于点$D$，$E$，$F$。
（1）判断四边形$CDIE$的形状，并说明理由；
（2）若此直角三角形的两条直角边的长分别为9和40，求线段$CI$的长。
答案：解：
（1）四边形$CDIE$是正方形，理由如下：
∵ $\odot I$与$BC$、$AC$分别相切于点$D$、$E$，
∴ $ID⊥ BC$，$IE⊥ AC$，
∴ $∠ IDC = ∠ IEC = 90°$，
又∵ $∠ C = 90°$，
∴ 四边形$CDIE$是矩形，
∵ $ID$、$IE$都是$\odot I$的半径，即$ID=IE$，
∴ 矩形$CDIE$是正方形。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，两条直角边$AC=40$，$BC=9$，
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{40^2 + 9^2} = 41$。
设$△ ABC$的内切圆半径为$r$，根据直角三角形内切圆半径公式：
$r = \dfrac{AC + BC - AB}{2} = \dfrac{40 + 9 - 41}{2} = 4$，
即$ID = CD = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ CDI$中，$∠ IDC=90°$，
$CI = \sqrt{CD^2 + ID^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$。
综上，线段$CI$的长为$4\sqrt{2}$。
解析：
【分析】
（1）判断四边形形状的思路：首先根据切线的性质，可得内切圆的半径与切点处的边垂直，得到∠IDC、∠IEC均为直角，结合已知∠C=90°，可先判定四边形CDIE是矩形；再根据内切圆半径相等，得到矩形的一组邻边ID=IE，即可判定矩形为正方形。
（2）求CI长的思路：首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据直角三角形内切圆半径公式算出内切圆半径r；由（1）知四边形CDIE是正方形，可得CD=ID=r，最后在Rt△CDI中利用勾股定理即可求出CI的长度。
【解析】
（1）四边形$CDIE$是正方形，理由如下：
∵ $\odot I$与$BC$、$AC$分别相切于点$D$、$E$，
∴ $ID⊥ BC$，$IE⊥ AC$，
∴ $∠ IDC = ∠ IEC = 90°$，
又
∵ $∠ C = 90°$，
∴ 四边形$CDIE$是矩形，
∵ $ID$、$IE$都是$\odot I$的半径，即$ID=IE$，
∴ 矩形$CDIE$是正方形。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，两条直角边$AC=40$，$BC=9$，
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{40^2 + 9^2} = 41$。
设$△ ABC$的内切圆半径为$r$，根据直角三角形内切圆半径公式：
$r = \dfrac{AC + BC - AB}{2} = \dfrac{40 + 9 - 41}{2} = 4$，
即$ID = CD = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ CDI$中，$∠ IDC=90°$，
$CI = \sqrt{CD^2 + ID^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$。
【答案】
（1）四边形$CDIE$是正方形；（2）线段$CI$的长为$4\sqrt{2}$。
【知识点】
切线的性质；正方形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，将切线性质、特殊四边形判定、直角三角形计算相结合，考查对基础知识点的综合运用能力，解题时可从已知条件出发逐步推导所求结论。
【难度系数】
0.7
7. 如图，I是$△ ABC$的内心，连接AI并延长，和$△ ABC$的外接圆相交于点D.BD与ID相等吗？为什么？
答案：解：BD = ID，理由如下：
连接BI。
∵ I是△ABC的内心，
∴ AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴ ∠BAD = ∠CAD，∠ABI = ∠CBI。
∵ ∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CAD = ∠CBD，
∴ ∠BAD = ∠CBD。
∵ ∠BID是△ABI的外角，
∴ ∠BID = ∠BAD + ∠ABI，
又∵ ∠IBD = ∠CBD + ∠CBI，且∠BAD = ∠CBD，∠ABI = ∠CBI，
∴ ∠BID = ∠IBD，
∴ BD = ID。
解析：
【分析】
要判断BD与ID是否相等，可通过证明△IBD为等腰三角形，即证∠BID=∠IBD。首先结合三角形内心的性质，得到AI、BI分别是对应角的角平分线，可得两组等角；再利用同弧所对的圆周角相等，将∠CAD转化为∠CBD，进而把∠BID（△ABI的外角）和∠IBD都拆分为两个角的和，通过等量代换证明两个角相等，最终由等角对等边得到结论。
【解析】
连接BI。
∵ I是△ABC的内心，
∴ AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴ ∠BAD = ∠CAD，∠ABI = ∠CBI。
∵ ∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CAD = ∠CBD，
∴ ∠BAD = ∠CBD。
∵ ∠BID是△ABI的外角，
∴ ∠BID = ∠BAD + ∠ABI，
又
∵ ∠IBD = ∠CBD + ∠CBI，且∠BAD = ∠CBD，∠ABI = ∠CBI，
∴ ∠BID = ∠IBD，
∴ BD = ID。
【答案】BD=ID
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题型，解题的核心是通过角的等量代换证明两角相等，进而推导线段相等，要求熟练掌握三角形内心性质、圆周角定理及等腰三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
