8. 阅读材料:如图①,△ABC的周长为l,面积为S,内切圆⊙O的半径为r,探究r与S,l之间的关系.
解:连接OA,OB,OC.
∵ $S_{△ AOB}=\frac{1}{2}AB· r,S_{△ OBC}=\frac{1}{2}BC· r,S_{△ OCA}=\frac{1}{2}CA· r$,
∴ $S=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}BC· r+\frac{1}{2}CA· r=\frac{1}{2}l· r$.
∴ $r=\frac{2S}{l}$.
(1) 根据上述结论,边长分别为5,12,13的三角形的内切圆半径为
;
(2) 如图②,若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),且面积为S,各边长分别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式;
(3) 若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为$a_1,a_2,a_3,a_4,···,a_n$,猜想其内切圆半径公式.(不需说明理由)
解析：
【分析】
(1) 先判断边长为5,12,13的三角形的形状，计算其面积和周长，再直接代入题干给出的三角形内切圆半径公式即可求解；
(2) 类比三角形内切圆半径的推导方法，连接内切圆圆心与四边形的四个顶点，将四边形拆分为4个高均为内切圆半径的三角形，利用总面积等于四个三角形面积和，整理即可推导公式；
(3) 由三角形、四边形的内切圆半径公式的规律，直接类比猜想得到n边形的内切圆半径公式。
【解析】
(1)
∵ $5^2+12^2=25+144=169=13^2$，
∴ 该三角形是直角三角形。
它的面积 $S=\frac{1}{2}×5×12=30$，周长 $l=5+12+13=30$，
代入公式 $r=\frac{2S}{l}$，得 $r=\frac{2×30}{30}=2$。
(2) 设四边形ABCD内切圆的圆心为O，半径为r，连接OA、OB、OC、OD，
则四边形被分为4个三角形：$△ OAB、△ OBC、△ OCD、△ ODA$，每个三角形的高均为r，
∴ $S_{△ OAB}=\frac{1}{2}a· r$，$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}b· r$，$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}c· r$，$S_{△ ODA}=\frac{1}{2}d· r$，
∴ 四边形面积 $S=\frac{1}{2}a· r+\frac{1}{2}b· r+\frac{1}{2}c· r+\frac{1}{2}d· r=\frac{1}{2}(a+b+c+d)r$，
整理得四边形内切圆半径公式：$r=\frac{2S}{a+b+c+d}$。
(3) 类比上述推导规律，n边形的周长为$l=a_1+a_2+\dots+a_n$，因此内切圆半径公式为$r=\frac{2S}{a_1+a_2+\dots+a_n}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{r=\frac{2S}{a+b+c+d}}$；(3) $\boldsymbol{r=\frac{2S}{a_1+a_2+\dots+a_n}}$
【知识点】
内切圆的性质，面积法，类比推理
【点评】
本题以三角形内切圆半径公式为基础，通过类比的方法逐步推导多边形的内切圆半径公式，核心是利用面积分割法，将多边形的面积拆分为若干个以内切圆半径为高的小三角形的面积和，很好地考查了知识迁移和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
