【分析】
要判断这四个结论，需结合正多边形的定义（各边相等、各角相等的多边形）、圆内接多边形的性质，以及轴对称、中心对称图形的定义逐一分析：
1. 判断圆内接多边形是否为正多边形，需同时满足各边相等、各角相等，结合圆中弦、弧的对应关系分析边等和角等的推导；
2. 判断错误结论可通过举符合条件但不符合结论的反例验证；
3. 正多边形的对称性结合轴对称、中心对称的定义判断即可。
【解析】
（1）各边相等的圆内接多边形，各边对应的弦相等，因此各边所对的劣弧相等，每个内角所对的弧也相等，可推出各内角相等，满足正多边形“各边相等、各角相等”的定义，故结论正确。
（2）举反例：圆内接矩形，四个内角均为90°（各角相等），但邻边长度不一定相等，不是正四边形，因此各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，结论错误。
（3）所有正多边形都存在过其中心的对称轴，沿对称轴对折后直线两侧的部分可完全重合，因此正多边形都是轴对称图形，结论正确。
（4）举反例：正三角形是正多边形，但将其绕任意点旋转180°都无法与自身重合，不是中心对称图形，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形，故结论错误。
【答案】
（1）√；（2）×；（3）√；（4）×
【知识点】
正多边形的判定；正多边形的对称性；圆内接多边形性质
【点评】
本题围绕正多边形的核心性质命题，易错点是忽略圆内接多边形“角等推不出边等”的特点，以及正多边形为中心对称图形的前提是边数为偶数，借助反例判断可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7

【分析】
这两道题都考查正多边形的旋转对称性，解题核心是明确正多边形绕中心旋转后与原图形重合的条件：旋转角是正多边形中心角的正整数倍，最小旋转角等于正多边形的中心角，中心角计算公式为$\frac{360°}{n}$（$n$为正多边形边数）。
（1）问求正五边形的最小旋转角，直接代入中心角公式计算即可；
（2）问已知旋转40°可重合，说明40°是该正多边形中心角的整数倍，要使边数最少，需让中心角最大，即取整数倍系数为1，用360°除以40°即可得到最小边数。
【解析】
（1）正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，因此绕它的中心至少旋转72°，才能与原来的位置重合。
（2）设这个正多边形的边数为$n$，正多边形绕中心旋转后与原位置重合，说明旋转角是其中心角的整数倍，该正多边形的中心角为$\frac{360°}{n}$。
由题意得：$\frac{360°}{n} · k = 40°$（$k$为正整数），整理得$n=9k$。
当$k=1$时，$n$取最小正整数9，因此这个多边形的边数至少是9。
【答案】
（1）$\boldsymbol{72}$；（2）$\boldsymbol{9}$
【知识点】
正多边形中心角计算；旋转对称图形性质；正多边形的性质
【点评】
本题围绕正多边形的旋转对称性质设题，解题关键是掌握正多边形最小旋转角与中心角的对应关系，整体难度较低，熟练掌握中心角计算公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先回忆正六边形的性质：正六边形的中心与各顶点连线可将其分割为6个全等的等边三角形，等边三角形的边长与正六边形边长相等，点O到一边的距离就是等边三角形的高（即正六边形的边心距）。我们可以先设正六边形边长为a，利用等边三角形高与边长的数量关系列方程求出边长，再通过计算6个等边三角形的总面积得到正六边形的面积。
【解析】
过点O作OM⊥AB于点M，连接OA、OB。
∵ 多边形ABCDEF是正六边形，
∴ 中心角$∠ AOB=360°÷6=60°$，
又
∵ $OA=OB$，
∴ $△ OAB$是等边三角形，即$AB=OA=OB$，正六边形边长等于等边$△ OAB$的边长。
已知OM=6，是等边$△ OAB$的高，等边三角形的高与边长的关系为：$\mathrm{高}=\frac{\sqrt{3}}{2}×\mathrm{边长}$。
设正六边形边长为$a$，可得：
$\frac{\sqrt{3}}{2}a=6$
解得$a=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$。
接下来计算正六边形面积：正六边形由6个全等的等边$△ OAB$组成，
单个$△ OAB$的面积$=\frac{1}{2}× AB× OM=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×6=12\sqrt{3}$，
因此正六边形的面积$=6×12\sqrt{3}=72\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$；$72\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形的性质，等边三角形的性质，正多边形面积计算
【点评】
本题核心是利用正六边形可分割为6个全等等边三角形的特点，将正六边形的边长、边心距问题转化为等边三角形的相关计算，掌握正多边形和圆的基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

【分析】
解决本题首先需要回忆正六边形的基本性质：正六边形各边长度相等，每个内角均为120°，可分割为6个边长等于正六边形边长的全等正三角形。解题时我们可以先分别推导正六边形的面积公式和△ACF的面积表达式，找到二者的倍数关系，再结合已知△ACF的面积即可求出正六边形的面积。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长为$a$：
1. 计算正六边形的面积：
正六边形可分割为6个边长为$a$的全等正三角形，单个正三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，因此正六边形面积$S_{正六边形}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
2. 计算$△ ACF$的面积：
在$△ ABC$中，$AB=BC=a$，$∠ ABC=120°$，过B作AC边上的高，由等腰三角形三线合一和勾股定理可得$AC=\sqrt{3}a$；正六边形中F、C为对顶点，连线长度$FC=2a$。
在$△ ACF$中，$AF=a$，$AC=\sqrt{3}a$，$FC=2a$，满足$AF^2+AC^2=a^2+3a^2=4a^2=FC^2$，由勾股定理逆定理可知$∠ FAC=90°$，因此$△ ACF$为直角三角形，面积$S_{△ ACF}=\frac{1}{2}× AF× AC=\frac{1}{2}× a×\sqrt{3}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2$。
3. 推导二者关系求解：
对比可得$S_{正六边形}=3S_{△ ACF}$，已知$S_{△ ACF}=4$，因此$S_{正六边形}=3×4=12$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；三角形面积计算；勾股定理逆定理
【点评】
本题重点考察正六边形的性质与面积计算，解题的核心是通过正六边形的边长关系推导出阴影三角形和正六边形的面积倍数，熟练掌握正六边形的基本特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

【分析】
要求正三角形与正六边形的边长之比，我们可以通过设参数分别表示两者的面积，利用面积相等的条件建立等式求解。首先回忆正三角形的面积公式，再利用正六边形可分割为6个全等正三角形的性质，表示出正六边形的面积，最后令两个面积相等，化简即可得到边长的比值。
【解析】
设正三角形的边长为$a$，正六边形的边长为$b$。
1. 计算正三角形的面积$S_1$：
根据正三角形面积公式，可得$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
2. 计算正六边形的面积$S_2$：
正六边形可以分割为6个边长为$b$的全等正三角形，每个小正三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，因此$S_2=6×\frac{\sqrt{3}}{4}b^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$。
3. 根据面积相等列等式求解边长比：
由题意得$S_1=S_2$，即$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$。
两边同时约去$\sqrt{3}$，得$\frac{1}{4}a^2=\frac{3}{2}b^2$，整理得$a^2=6b^2$。
因为边长均为正数，所以$\frac{a}{b}=\sqrt{6}$，即$a:b=\sqrt{6}:1$。
【答案】
A
【知识点】
正三角形面积计算、正六边形的性质、比例运算
【点评】
本题考查正多边形面积的相关计算，解题核心是通过分割法将正六边形转化为熟悉的正三角形计算面积，再利用等量关系列等式求解，是正多边形章节的基础典型题。
【难度系数】
0.7