6. 作一个正十二边形.(要求:保留作图痕迹,不写作法)
答案：解：
所作图形为圆内接正十二边形，保留全部作图痕迹：
1. 任作辅助圆O；
2. 利用尺规将圆周依次12等分：先作圆的两条互相垂直的直径将圆周四等分，再分别平分每段90°的弧，得到12个将圆周三等分、对应圆心角为30°的分点；
3. 顺次连接圆上12个等分点，得到的十二边形即为所求正十二边形，所有辅助作图的圆弧、直线痕迹均保留，无需额外写作法。
解析：
【分析】
要作正十二边形，可利用正多边形与圆的关联性质：圆内接正多边形的各边对应相等的圆心角，因此只要将圆周12等分，顺次连接各等分点就能得到正十二边形。首先计算得正十二边形每边对应的圆心角为$360°÷12=30°$，所以我们可以先作辅助圆，再通过尺规操作得到12个对应圆心角为$30°$的分点：先作圆的两条互相垂直的直径将圆周四等分，每段弧对应$90°$圆心角，再将每段$90°$的弧三等分得到$30°$的弧，即可得到12个等分点，最后顺次连接即可。
【解析】
1. 任意作一个辅助圆，记圆心为$O$；
2. 过圆心$O$作两条互相垂直的直径，此时圆周被四等分，每段弧对应的圆心角为$90°$；
3. 分别将每段$90°$的弧三等分，得到圆周上12个等分点，每相邻两个分点对应的圆心角为$30°$；
4. 按顺序依次连接这12个等分点，所得的十二边形即为所求正十二边形，作图过程中所有辅助圆弧、直线的痕迹全部保留即可，不需要额外写作法。
【答案】
所作图形为圆内接正十二边形，保留全部作图痕迹：1. 任作辅助圆$O$；2. 利用尺规将圆周依次12等分：先作圆的两条互相垂直的直径将圆周四等分，再分别平分每段$90°$的弧，得到12个对应圆心角为$30°$的分点；3. 顺次连接圆上12个等分点，得到的十二边形即为所求正十二边形，所有辅助作图的圆弧、直线痕迹均保留，无需额外写作法。
【知识点】
正多边形与圆；尺规作图；圆周等分
【点评】
本题考查正多边形的尺规作图方法，解题核心是掌握正多边形与圆的对应关系，利用“相等的圆心角对应相等的弧”的性质完成圆周等分，作图时需注意保留全部辅助痕迹，符合作图规范。
【难度系数】
0.7
7. 如图,正方形的边长为$\sqrt{2}+2$,剪去4个角后成为一个正八边形,求这个正八边形的边长和面积.
答案：解：设剪去的四个全等的等腰直角三角形的直角边长为$x$，
则正八边形的边长为$\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$。
由正方形边长为$\sqrt{2}+2$，可得：
$2x + \sqrt{2}x = \sqrt{2} + 2$
整理得：$x(2+\sqrt{2})=2+\sqrt{2}$
解得：$x=1$
∴正八边形的边长为$\sqrt{2}x=\sqrt{2}$。
正方形的面积为$(\sqrt{2}+2)^2 = 6 + 4\sqrt{2}$，
四个剪去的等腰直角三角形的总面积为$4× \frac{1}{2} × 1 × 1 = 2$，
∴正八边形的面积为$(6+4\sqrt{2}) - 2 = 4 + 4\sqrt{2}$。
答：这个正八边形的边长为$\sqrt{2}$，面积为$4+4\sqrt{2}$。
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先观察图形特征：正方形剪去4个角得到正八边形，说明剪去的4个三角形是全等的等腰直角三角形，且正八边形各边长相等。我们可以先设等腰直角三角形的直角边长为x，用x表示出正八边形的边长，再根据正方形的边长找到等量关系列方程求解x，即可得到正八边形的边长；求面积时，用正方形的总面积减去4个剪去的等腰直角三角形的总面积即可。
【解析】
解：设剪去的四个全等的等腰直角三角形的直角边长为$x$，
则正八边形的边长等于等腰直角三角形的斜边长，即$\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$。
根据正方形边长为$\sqrt{2}+2$，正方形的边长由两个等腰直角三角形的直角边和正八边形的一条边组成，可得：
$2x + \sqrt{2}x = \sqrt{2} + 2$
整理得：$x(2+\sqrt{2})=2+\sqrt{2}$
解得：$x=1$
∴正八边形的边长为$\sqrt{2}x=\sqrt{2}$。
正方形的面积为$(\sqrt{2}+2)^2 = 6 + 4\sqrt{2}$，
四个剪去的等腰直角三角形的总面积为$4× \frac{1}{2} × 1 × 1 = 2$，
∴正八边形的面积为$(6+4\sqrt{2}) - 2 = 4 + 4\sqrt{2}$。
【答案】
正八边形的边长为$\sqrt{2}$，面积为$4+4\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形性质；等腰直角三角形性质；割补法求面积
【点评】
本题是正多边形和等腰直角三角形的综合应用题，解题核心是抓住正八边形各边相等的特征，找到正方形边长与正八边形边长的等量关系，通过方程思想求出未知量，面积计算采用割补法简化运算，能很好地考查学生的图形分析能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.6
8. 我们知道，五边形具有不稳定性.已知正五边形框架OABCD在平面直角坐标系中的位置如图①所示，点A在x轴负半轴上，固定边AO，将正五边形框架向右推，使点A，B，C共线，且点C落在y轴上，如图②所示，求∠CDO的度数.
答案：解：
∵ 五边形OABCD是正五边形，
∴ $OA=AB=BC=CD=DO$，
正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ ABC=∠ BCD=108°$。
∵ 点A，B，C共线，$AB=BC$，且$∠ AOC=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，B是斜边AC的中点，
∴ $OB=AB=BC$。
又∵ $OA=AB$，
∴ $OA=AB=OB$，即$△ OAB$为等边三角形，
∴ $∠ OAC=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$∠ ACO=90°-∠ OAC=90°-60°=30°$，
∴ $∠ OCD=∠ BCD-∠ ACO=108°-30°=78°$。
又∵ $CD=DO$，
∴ $△ CDO$是等腰三角形，$∠ OCD=∠ COD=78°$，
∴ $∠ CDO=180°-2×78°=24°$。
答：$∠ CDO$的度数为$24°$。
解析：
【分析】
解题时首先利用正五边形的基本性质：各边长度相等，每个内角可通过多边形内角和公式计算得到。再结合图形变换后的特征：固定AO后点C落在y轴上，可得∠AOC=90°，且A、B、C共线、AB=BC，因此B是Rt△AOC斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OB=AB=BC，结合正五边形OA=AB的性质，可推出△OAB是等边三角形，得到∠OAC的度数后就能算出∠ACO的度数。再用正五边形内角∠BCD减去∠ACO得到∠OCD的度数，最后结合CD=OD，△CDO为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠CDO的度数。
【解析】
∵ 五边形OABCD是正五边形，
∴ $OA=AB=BC=CD=DO$，
正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ ABC=∠ BCD=108°$。
∵ 点A，B，C共线，$AB=BC$，且$∠ AOC=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，B是斜边AC的中点，
∴ $OB=AB=BC$。
又
∵ $OA=AB$，
∴ $OA=AB=OB$，即$△ OAB$为等边三角形，
∴ $∠ OAC=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$∠ ACO=90°-∠ OAC=90°-60°=30°$，
∴ $∠ OCD=∠ BCD-∠ ACO=108°-30°=78°$。
又
∵ $CD=DO$，
∴ $△ CDO$是等腰三角形，$∠ OCD=∠ COD=78°$，
∴ $∠ CDO=180°-2×78°=24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
正多边形的性质，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形性质
【点评】
本题结合正多边形的不稳定性考查几何角度计算，解题关键是抓住图形变换后的直角、共线等特殊条件，推导得到等边三角形后逐步计算角度，能较好地考查几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
