2. 某汽车生产企业为了解消费者对其产品和服务的满意程度，对其所生产的中档车用户展开调查，调查表明，许多人抱怨该中档车的传动系统不佳. 为此，公司从其设立在全国各地的4S店中随机收集了50辆该中档车首次传动系统故障的行驶里程数的记录，数据如下(单位：km)：
（1）计算以上数据的四分位数.
（2）现该企业决定赠送一次该中档车的传动系统免费保养，你建议顾客在行驶里程达多少千米后来做这次保养？说明理由.
答案：解：
（1）将50个行驶里程数据从小到大依次排列：
25065，32464，32534，32609，35662，37831，39323，40002，53402，53500，
59465，59817，59902，61978，63436，64090，64342，64544，65605，66998，
67202，67998，69568，69922，72069，73341，74276，74425，77098，77437，
77530，79294，82256，85092，85288，85586，85861，86813，88798，89341，
89641，92857，94219，95774，101769，116269，116803，118444，121352，138114。
计算分位数位置：
样本容量$n=50$，
$50×25\%=12.5$，因此第25百分位数为排序后第13项数据，即59902；
$50×50\%=25$，因此第50百分位数为排序后第25项数据与第26项数据的平均数，即$\frac{72069+73341}{2}=72705$；
$50×75\%=37.5$，因此第75百分位数为排序后第38项数据，即86813。
该组数据的四分位数为：第25百分位数59902km，第50百分位数72705km，第75百分位数86813km。
（2）建议顾客在行驶里程达到约73000km（即中位数72705km）后来做这次保养。
理由：由计算可知，有半数的车辆首次传动系统故障的行驶里程不超过72705km，在该里程进行免费保养，可保证半数以上的用户在传动系统发生首次故障前完成保养，有效降低用户遇到传动系统故障的概率，提升用户满意度。
解析：
【分析】
对于问题（1），求解四分位数首先要将所有数据从小到大排序，再结合样本容量计算各四分位数对应的位置：若计算得到的位置是整数，则取该位置和下一个位置数据的平均数作为对应分位数；若位置不是整数，则向上取整，对应位置的数据就是该分位数。对于问题（2），需要结合分位数的实际意义，选择合适的统计量给出合理建议，要尽可能保证更多用户在故障前完成保养。
【解析】
（1）首先将50个行驶里程数据从小到大依次排列：
25065，32464，32534，32609，35662，37831，39323，40002，53402，53500，
59465，59817，59902，61978，63436，64090，64342，64544，65605，66998，
67202，67998，69568，69922，72069，73341，74276，74425，77098，77437，
77530，79294，82256，85092，85288，85586，85861，86813，88798，89341，
89641，92857，94219，95774，101769，116269，116803，118444，121352，138114。
已知样本容量$n=50$：
①第25百分位数位置：$50×25\%=12.5$，位置非整数，向上取整为13，对应排序后第13项数据，即59902；
②第50百分位数（中位数）位置：$50×50\%=25$，位置为整数，取第25、26项数据的平均数，即$\frac{72069+73341}{2}=72705$；
③第75百分位数位置：$50×75\%=37.5$，位置非整数，向上取整为38，对应排序后第38项数据，即86813。
（2）建议顾客在行驶里程达到72705km（或约73000km）后做这次保养。
理由：由计算可知，有半数车辆首次传动系统故障的行驶里程不超过72705km，在该里程进行免费保养，可保证半数以上的用户在传动系统首次故障前完成保养，有效降低用户遇到传动系统故障的概率，提升用户满意度。
【答案】
（1）第25百分位数为59902km，第50百分位数为72705km，第75百分位数为86813km；
（2）建议行驶里程达72705km（或约73000km）时做保养，理由如上。
【知识点】
四分位数计算，百分位数应用，统计数据分析
【点评】
本题结合生活实际场景考查分位数相关知识，既要求掌握四分位数的标准计算步骤，也要求能理解统计量的实际意义，用统计结论解决实际问题，体现了统计知识的实用价值。
【难度系数】
0.7
