15. 把长为 36 cm 的铁丝剪成相等的两段，把一段弯成一个矩形，另一段弯成一个有一条边长为5 cm的等腰三角形.如果矩形面积与等腰三角形面积相等,求矩形的边长.
答案：15. 当5 cm为等腰三角形的腰时，设矩形的边长为$x$ cm.根据题意，得$x(9-x)=\dfrac{1}{2}×8×3$. 解得$x=\dfrac{9\pm\sqrt{33}}{2}$(cm). 经检验$x=\dfrac{9\pm\sqrt{33}}{2}$都符合题意. 当等腰三角形的底边为5 cm时，根据题意，得$x(9-x)=\dfrac{1}{2}×5×6$. 解得$x=\dfrac{9\pm\sqrt{21}}{2}$(cm). 经检验$x=\dfrac{9\pm\sqrt{21}}{2}$都符合题意. 所以矩形的边长为$\dfrac{9\pm\sqrt{33}}{2}$ cm或$\dfrac{9\pm\sqrt{21}}{2}$ cm
解析：
【分析】
首先36cm的铁丝剪成相等两段后，每段长18cm，即矩形周长为18cm，等腰三角形周长也为18cm。已知等腰三角形有一条边长为5cm，不确定是腰还是底，因此需分两类讨论：①5cm为腰长，②5cm为底边长，先验证两种情况均满足三角形三边关系，再分别计算对应等腰三角形的面积。再设矩形的一边长为x cm，根据矩形周长可得另一边长为(9-x)cm，利用“矩形面积=等腰三角形面积”列一元二次方程，求解并检验解是否符合实际即可。
【解析】
解：36cm铁丝剪成相等两段，每段长为$36÷2=18\ \mathrm{cm}$，即矩形周长为18cm，等腰三角形周长为18cm。
分两种情况讨论：
1. 当5cm为等腰三角形的腰长时：
等腰三角形的底边长$=18-5×2=8\ \mathrm{cm}$，三边为5cm、5cm、8cm，满足三角形三边关系。
底边上的高$=\sqrt{5^2-(8÷2)^2}=\sqrt{25-16}=3\ \mathrm{cm}$，三角形面积$=\frac{1}{2}×8×3=12\ \mathrm{cm}^2$。
设矩形的一边长为$x$ cm，则另一边长为$(18÷2-x)=(9-x)\ \mathrm{cm}$，由题意得：
$x(9-x)=12$，整理得$x^2-9x+12=0$，解得$x=\frac{9\pm\sqrt{33}}{2}$，均为正数，符合题意。
2. 当5cm为等腰三角形的底边长时：
等腰三角形的腰长$=(18-5)÷2=6.5\ \mathrm{cm}$，三边为6.5cm、6.5cm、5cm，满足三角形三边关系。
底边上的高$=\sqrt{6.5^2-(5÷2)^2}=\sqrt{42.25-6.25}=6\ \mathrm{cm}$，三角形面积$=\frac{1}{2}×5×6=15\ \mathrm{cm}^2$。
同理列方程：$x(9-x)=15$，整理得$x^2-9x+15=0$，解得$x=\frac{9\pm\sqrt{21}}{2}$，均为正数，符合题意。
【答案】
矩形的边长为$\dfrac{9\pm\sqrt{33}}{2}$ cm或$\dfrac{9\pm\sqrt{21}}{2}$ cm
【知识点】
1. 分类讨论思想
2. 一元二次方程的应用
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时需先明确等腰三角形已知边的类型，验证三角形存在性后再结合面积等量关系列方程求解，要注意检验方程的解是否符合实际意义，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
16. 某越剧团准备在市歌舞剧院演出，该剧院能容纳1 200人. 经调研，如果票价定为30元，那么门票可以全部售完. 票价每涨价1元，售出的门票就减少50张. 如果想获得28 000元的门票收入，票价应定为多少元？
答案：16. 设票价定为$(30+x)$元. 根据题意，得$(1\ 200-50x)(30+x)=28\ 000$,解得$x_1=-16$,$x_2=10$,$x_1=-16$不合题意，舍去，所以票价应定为40元
解析：
【分析】
这是一道销售收入类的一元二次方程应用题，解题核心是找准等量关系：总门票收入=每张门票价格×售出门票总张数。我们可以先设票价在30元的基础上涨了x元，此时票价为$(30+x)$元；因为每涨价1元少售出50张票，所以售出的门票张数为$(1200-50x)$张。结合目标收入28000元即可列出方程，求解后要结合剧院最多容纳1200人的实际条件，舍去不符合实际的解，最终得到正确定价。
【解析】
解：设票价在30元的基础上涨了$x$元，则此时票价为$(30+x)$元，售出的门票张数为$(1200-50x)$张。
根据总门票收入为28000元，列方程得：
$(1200-50x)(30+x)=28000$
展开整理方程：
$36000-300x-50x^2=28000$
化简为标准一元二次方程形式：
$x^2+6x-160=0$
因式分解得：
$(x+16)(x-10)=0$
解得$x_1=-16$，$x_2=10$。
当$x=-16$时，售出门票张数为$1200-50×(-16)=2000$张，超过剧院最大容纳量1200张，不符合实际，舍去；
当$x=10$时，票价为$30+10=40$元，此时售出票数为$1200-50×10=700$张，符合实际。
【答案】
票价应定为40元
【知识点】
一元二次方程应用，销售问题建模，方程解的检验
【点评】
本题是典型的销售类方程应用题，解题关键是理清单价、销量和总收入三者的等量关系，列出正确的方程，同时要注意结合实际场景对解的合理性进行验证，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
17. 阅读材料：
为解方程$(x^2 -1)^2 -5(x^2 -1)+4=0$，我们可以将$x^2 -1$看作一个整体，然后设$x^2 -1=y$，那么原方程可化为$y^2 -5y +4=0$，解得$y_1=1,y_2=4$。当$y=1$时，$x^2 -1=1$，所以$x^2=2$，所以$x=\pm\sqrt{2}$；当$y=4$时，$x^2 -1=4$，所以$x^2=5$，所以$x=\pm\sqrt{5}$，故原方程的解为$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$，$x_3=\sqrt{5}$，$x_4=-\sqrt{5}$。
请利用以上知识解方程$x^4 -x^2 -6=0$。
答案：17. 设$x^2=y$,原方程可化为$y^2-y-6=0$. 解得$y_1=-2$,$y_2=3$. 当$y=-2$时,$x^2=-2$,无解; 当$y=3$时,$x^2=3$,所以$x_1=\sqrt{3}$,$x_2=-\sqrt{3}$,故原方程的解为$x_1=\sqrt{3}$,$x_2=-\sqrt{3}$
解析：
【分析】
观察待解方程的结构，$x^4$可写成$(x^2)^2$，因此原方程是关于$x^2$的一元二次方程，属于高次方程，我们可以参照材料中的换元法实现降次：①先设$x^2=y$，将四次方程转化为熟悉的关于y的一元二次方程；②解出y的所有值后，结合平方数的非负性（$x^2≥0$）筛选出符合条件的y值；③将有效y值回代$x^2=y$，开平方求出x的所有解即可。
【解析】
解：设$x^2=y$，则$x^4=y^2$，原方程可化为：
$y^2 - y - 6 = 0$
因式分解得$(y-3)(y+2)=0$，解得$y_1=-2$，$y_2=3$。
①当$y=-2$时，$x^2=-2$，
∵实数范围内平方数非负，
∴该情况无实根；
②当$y=3$时，$x^2=3$，开平方得$x=\pm\sqrt{3}$，即$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$。
综上，原方程的解为$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$。
【答案】
$x_1=\sqrt{3}$，$x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
换元法解方程，一元二次方程的解法，平方的非负性
【点评】
本题核心考查换元的数学思想，通过换元将陌生的高次方程转化为已掌握的一元二次方程求解，是降次思想的典型应用。解题时要注意换元后新未知数的取值范围，及时舍去不符合实际意义的解，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
