14. 燃气公司要在地下修建一个容积为$10^4 \ \mathrm{m}^3$的圆柱形燃气储存室.
（1）储存室的底面积$S \ \mathrm{m}^2$关于其深度$d \ \mathrm{m}$的函数表达式是________.
（2）公司决定把储存室的底面积$S$定为$500 \ \mathrm{m}^2$，施工队施工时应该向下掘进多少米？
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下16 m时，碰上了坚硬的岩石. 为了节约资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为16 m，则储存室的底面积应该改为多少才能满足需要？
答案：14. (1) $S=\frac{10000}{d}$ (2) 把$S=500$代入$S=\frac{10000}{d}$，得$500=\frac{10000}{d}$，解得$d=20$ (3) 根据题意，把$d=16$代入$S=\frac{10000}{d}$，得$S=625$
解析：
【分析】
本题核心依据是圆柱体积公式解题：① 首先回忆圆柱容积（体积）公式：容积=底面积×深度，已知容积固定为$10^4 \ \mathrm{m}^3$，变形公式即可得到底面积$S$和深度$d$的函数关系；② 第二问已知底面积求深度，直接将$S$的取值代入第一问得到的函数表达式，解一元一次方程即可得到深度；③ 第三问已知调整后的深度，再次代入函数表达式计算即可得到需要调整的底面积，所有结果需要符合实际意义（长度、面积均为正数）。
【解析】
（1）根据圆柱容积公式$V = Sd$，代入$V=10^4=10000$，得$10000 = Sd$，变形得$S=\frac{10000}{d}\ (d＞0)$。
（2）将$S=500$代入$S=\frac{10000}{d}$，可得$500=\frac{10000}{d}$，方程两边同乘$d$得$500d=10000$，解得$d=20$，符合实际意义。
（3）将调整后的深度$d=16$代入$S=\frac{10000}{d}$，可得$S=\frac{10000}{16}=625$，符合实际意义。
【答案】
(1) $\boldsymbol{S=\dfrac{10000}{d}}$
(2) 施工时应该向下掘进$\boldsymbol{20}$米
(3) 储存室的底面积应该改为$\boldsymbol{625\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
反比例函数实际应用、圆柱体积公式、代数式求值
【点评】
本题是贴近生活的基础函数应用题，难度较低，核心是掌握圆柱体积公式，熟练对反比例函数进行代值计算即可，解题时注意验证结果符合实际场景的取值要求。
【难度系数】
0.85
15. 已知某品牌运动鞋的每双进价为120元，商场为寻求合适的售价进行了4天的试销，试销情况如下表：
（1）观察表中数据，$x$与$y$之间满足什么函数关系？请求出这个函数表达式。
（2）已知商场计划该品牌运动鞋每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
答案：15. (1) 由表中数据，得$xy=6000$. $\therefore y=\frac{6000}{x}$. $\therefore y$是$x$的反比例函数. 所求函数表达式为$y=\frac{6000}{x}$ (2) 根据题意，得$(x-120)y=3000$. 把$y=\frac{6000}{x}$代入，得$(x-120)×\frac{6000}{x}=3000$. 解得$x=240$. 经检验，$x=240$是原方程的根
解析：
【分析】
（1）要判断x和y的函数关系，先观察表格中对应x、y的乘积是否为定值：计算每组x和y的乘积，发现所有组的乘积均为6000，符合反比例函数$xy=k$（k为常数，$k≠0$）的形式，因此可确定为反比例函数，代入任意一组数据求出k值即可得到函数表达式。
（2）销售利润的计算公式为：总利润=（单售价-单进价）×销售量，已知总利润为3000元，进价为120元，销售量y可用第一问得到的反比例表达式代入，即可列出关于x的分式方程，解方程后检验根是否符合实际意义即可得到结果。
【解析】
（1）观察表格中x与y的对应值，计算乘积可得：
$150×40=6000$，$200×30=6000$，$250×24=6000$，$300×20=6000$，
即xy的乘积为定值6000，因此y是x的反比例函数，设函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=150，y=40$代入得$k=xy=150×40=6000$，
故所求函数表达式为$y=\frac{6000}{x}$。
（2）根据“总利润=（每双售价-每双进价）×销售量”，结合题意列方程：
$(x-120)y=3000$，
将$y=\frac{6000}{x}$代入上式得：
$(x-120)×\frac{6000}{x}=3000$，
方程两边同乘x去分母得：$6000(x-120)=3000x$，
展开得：$6000x - 720000 = 3000x$，
移项合并同类项得：$3000x=720000$，
解得：$x=240$。
检验：当$x=240$时，$x≠0$，因此$x=240$是原分式方程的解，且符合实际销售的意义。
【答案】
（1）y与x满足反比例函数关系，函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6000}{x}}$；
（2）单价应定为240元。
【知识点】
反比例函数的应用；分式方程求解；销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与方程的综合应用，解题的关键是先通过数据特征判断函数类型，再结合利润公式列方程求解，注意解分式方程后必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
16. 如图,点A,B在函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象上.
(1) 求$m$的值及直线AB相应的函数表达式；
(2) 如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点,请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的坐标.
答案：16. (1) $m=6,y=-x+7$ (2) $(2,4),(3,3),(4,2)$
解析：
【分析】
(1) 首先从图象中获取点A、B的坐标，点A坐标为$(1,6)$，点B坐标为$(6,1)$。先将点A代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$即可求出m的值；再用待定系数法，设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A、B两点坐标代入得到二元一次方程组，解方程组即可得到直线的函数表达式。
(2) 阴影部分（不含边界）的点满足条件：横坐标x在1到6之间，且纵坐标大于反比例函数值、小于一次函数值。依次取x为2、3、4、5的整数值，求出对应y的取值范围，筛选出整数y即可得到格点坐标。
【解析】
(1) 由图可知，点A的坐标为$(1,6)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象上，
∴将$x=1,y=6$代入得：$6=\frac{m}{1}$，解得$m=6$。
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$，
将$A(1,6)$、$B(6,1)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}k+b=6\\6k+b=1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$-5k=5$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=6$，得：$-1+b=6$，解得$b=7$，
∴直线AB的函数表达式为$y=-x+7$。
(2) 阴影部分（不含边界）的点满足：$1＜x＜6$，且$\frac{6}{x}＜y＜-x+7$，
当$x=2$时，$\frac{6}{2}=3$，$-2+7=5$，则$3＜y＜5$，整数$y=4$，对应格点$(2,4)$；
当$x=3$时，$\frac{6}{3}=2$，$-3+7=4$，则$2＜y＜4$，整数$y=3$，对应格点$(3,3)$；
当$x=4$时，$\frac{6}{4}=1.5$，$-4+7=3$，则$1.5＜y＜3$，整数$y=2$，对应格点$(4,2)$；
当$x=5$时，$\frac{6}{5}=1.2$，$-5+7=2$，则$1.2＜y＜2$，无整数y，不符合要求。
【答案】
(1) $m=6$，直线AB的函数表达式为$y=-x+7$；
(2) $(2,4),(3,3),(4,2)$
【知识点】
1. 反比例函数的坐标特征
2. 待定系数法求解析式
3. 不等式整数解
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，解题核心是掌握函数图象上点的坐标与解析式的关系，找格点时要注意不含边界的限制条件，需结合不等式范围逐一筛选，是函数模块的常见题型。
【难度系数】
0.7
