17. 在平面直角坐标系中，P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，如果由点P、原点、两个垂足这4个点为顶点的矩形的周长与面积相等，那么称这个点P是平面直角坐标系中的“奇点”。例如：如图，过点P(4,4)分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是奇点。请解答下列问题：
（1）已知点C(2,2),D(-4,-4),E$(\frac{10}{3},-5)$，其中是奇点的有
D,E
（填C,D或E）。
（2）我们可以从函数的角度研究奇点。已知点P(x,y)是第一象限内的奇点。
Ⅰ. 求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围。
Ⅱ. 借鉴研究一次函数和反比例函数的经验，类似地可以对Ⅰ中所求出的函数的图象和性质进行探索，下列结论中，正确的是
①②③
（填写所有正确的序号）。
① 图象与坐标轴没有交点；
② 在第一象限内，y随着x的增大而减小；
③ 对于图象上任意一点(x,y)，$(x-2)(y-2)$是一个定值。
（3）在第一象限内，一次函数$y=kx+8$（k为常数）的图象上奇点的个数随着k的值变化而变化，直接写出奇点的个数及对应的k的取值范围。
答案：17. (1) D,E (2) Ⅰ. $xy=2(x+y),y=\frac{4}{x-2}+2,x＞2$. Ⅱ. ①②③ (3) 当$k＜-1$时，有0个奇点；当$k＞0$或$k=-1$时，有1个奇点；当$-1＜k＜0$时，有2个奇点
解析：
【分析】
1. 解题首先要准确理解“奇点”的定义：过点P作x轴、y轴的垂线，所得矩形的周长与面积相等，转化为数量关系为$|x||y|=2(|x|+|y|)$。
2. 第(1)问只需将三个点的坐标代入上述等式验证，即可判断是否为奇点。
3. 第(2)问Ⅰ中，第一象限内点的横纵坐标均为正，去掉绝对值后整理等式即可得到y关于x的函数表达式，再结合坐标限制求出自变量取值范围；Ⅱ结合所得函数的图象性质，逐一判断三个结论即可。
4. 第(3)问将奇点的函数表达式与一次函数联立，转化为一元二次方程，结合判别式以及第一象限奇点$x＞2$的限制，分类讨论k的取值与奇点个数的关系。
【解析】
(1) 根据奇点定义，判断点是否满足$|x||y|=2(|x|+|y|)$：
点C(2,2)：左边$|2|×|2|=4$，右边$2×(2+2)=8$，$4≠8$，不是奇点；
点D(-4,-4)：左边$|-4|×|-4|=16$，右边$2×(4+4)=16$，$16=16$，是奇点；
点E$(\frac{10}{3},-5)$：左边$|\frac{10}{3}|×|-5|=\frac{50}{3}$，右边$2×(\frac{10}{3}+5)=\frac{50}{3}$，$\frac{50}{3}=\frac{50}{3}$，是奇点。
(2) Ⅰ. 点P(x,y)是第一象限内的奇点，故$x＞0,y＞0$，由定义得：
$xy=2(x+y)$
移项整理得$y(x-2)=2x$，即$y=\frac{2x}{x-2}=2+\frac{4}{x-2}$
$\because y＞0,x＞0$，$\therefore x-2＞0$，即$x＞2$。
Ⅱ. 逐一判断结论：
① 由$x＞2,y＞0$可知x、y均不为0，故图象与坐标轴没有交点，①正确；
② $y=2+\frac{4}{x-2}$，当$x＞2$时，x增大则$\frac{4}{x-2}$减小，故y随x的增大而减小，②正确；
③ $(x-2)(y-2)=(x-2)×\frac{4}{x-2}=4$，是定值，③正确。
(3) 联立$y=\frac{2x}{x-2}(x＞2)$与$y=kx+8$，整理得$kx^2+(6-2k)x-16=0$，分情况讨论：
当$k＜-1$时，方程无满足$x＞2$的实根，奇点个数为0；
当$k=-1$时，方程有唯一符合条件的实根$x=4$，当$k＞0$时，方程有且只有1个大于2的实根，此时奇点个数为1；
当$-1＜k＜0$时，方程有2个大于2的实根，奇点个数为2。
【答案】
(1) D、E
(2) Ⅰ. $y=\frac{2x}{x-2}$（或$y=2+\frac{4}{x-2}$），$x＞2$；Ⅱ. ①②③
(3) 当$k＜-1$时，有0个奇点；当$k＞0$或$k=-1$时，有1个奇点；当$-1＜k＜0$时，有2个奇点
【知识点】
新定义问题、反比例函数性质、函数与方程
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查了代数式变形、函数图象性质、函数与方程的关系以及分类讨论思想，核心是将新定义转化为已学的函数、方程问题，同时要注意自变量取值范围对结果的约束，能够有效考查知识迁移能力和综合分析能力。
【难度系数】
0.3
如图,在矩形ABCD中,边BC在x轴上,E是对角线BD的中点,函数$y=\frac{3}{x}$的图象经过点A,E,点E的纵坐标为m.
(1) 求点A的纵坐标(用m表示);
(2) 当∠ABD=45°时,求m的值.
(附加题)
答案：附加题 (1) $2m$ (2) $m=\frac{\sqrt{6}}{2}$
解析：
【分析】
(1) 先根据矩形性质确定点A、D纵坐标相同，点B纵坐标为0；再利用中点坐标的性质：线段中点的纵坐标为两端点纵坐标的平均值，结合E的纵坐标为m，即可推导得到点A的纵坐标。
(2) 当∠ABD=45°时，结合矩形内角为90°的性质，可得△ABD为等腰直角三角形，即AB=AD；再根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值3，分别表示出点A、E的坐标，进而用m表示AB和AD的长度，列方程求解即可，注意m为正数需舍去负根。
【解析】
(1) 设点$B$坐标为$(b,0)$，点$A$的纵坐标为$n$。
∵四边形$ABCD$是矩形，$BC$在$x$轴上，
∴点$D$的纵坐标与点$A$相等，均为$n$。
∵$E$是$BD$的中点，根据中点坐标公式，$E$的纵坐标为$\frac{0+n}{2}$，
已知$E$的纵坐标为$m$，
∴$m=\frac{n}{2}$，解得$n=2m$，即点$A$的纵坐标为$2m$。
(2)
∵点$A$在$y=\frac{3}{x}$的图象上，且纵坐标为$2m$，
∴点$A$的横坐标为$\frac{3}{2m}$，即$A(\frac{3}{2m},2m)$，
则点$B$的坐标为$(\frac{3}{2m},0)$，$AB$的长度为$2m$。
∵点$E$在$y=\frac{3}{x}$的图象上，且纵坐标为$m$，
∴点$E$的横坐标为$\frac{3}{m}$，即$E(\frac{3}{m},m)$。
设点$D$的横坐标为$d$，
∵$E$是$BD$中点，
∴$\frac{\frac{3}{2m}+d}{2}=\frac{3}{m}$，解得$d=\frac{9}{2m}$，
则$AD$的长度为$\frac{9}{2m}-\frac{3}{2m}=\frac{3}{m}$。
当$∠ ABD=45°$时，
∵$∠ BAD=90°$，
∴$△ ABD$为等腰直角三角形，$AB=AD$，
∴$2m=\frac{3}{m}$，整理得$2m^2=3$，
∵$m＞0$，
∴$m=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1) $2m$；(2) $m=\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，中点坐标公式
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是利用几何性质建立点坐标之间的联系，再结合反比例函数的特征列式求解，侧重考察数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
