【分析】
（1）作三角形外接圆的核心是确定圆心和半径：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需作出△ABC任意两边的垂直平分线，交点即为外接圆圆心O，再以O为圆心、OA长为半径画圆即可完成作图。
（2）证明直线是圆的切线需满足两个条件：①直线经过半径的外端；②直线与该半径垂直。因此我们连接OA，先结合等边三角形的性质、圆心角与圆周角的关系、等腰三角形的性质求出∠OAC的度数，再结合平行线的内错角相等的性质推导得出∠EAO=90°，即可证明OA⊥DE，进而得到DE是⊙O的切线。
【解析】
（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，所得⊙O即为所求。
（2）证明：连接OA、OC。
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴同弧AC所对的圆心角∠AOC=2∠ABC=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=(180°-120°)÷2=30°，
∵DE//BC，
∴∠EAC=∠ACB=60°（两直线平行，内错角相等），
∴∠EAO=∠EAC+∠OAC=60°+30°=90°，即AO⊥DE，
又
∵点A在⊙O上，OA是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线。
【答案】
(1) 如图,⊙O即为所求
(2) 连接OA、OC.
∵ △ABC是正三角形,
∴ ∠ABC=∠ACB=60°.
∴ ∠AOC=120°.
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA=30°.
∵ DE//BC,
∴ ∠EAC=∠ACB=60°.
∴ ∠EAO=90°,即 AO⊥AE. 又
∵ 点A在⊙O上,
∴ DE是⊙O的切线
【知识点】
1. 三角形外接圆作法
2. 切线的判定
3. 等边三角形的性质
【点评】
本题融合了尺规作图和几何证明两类考点，既考查了基础的作图操作能力，也考查了几何逻辑推导能力，解题时需熟练掌握外接圆的作图要点、切线的判定规则，同时能灵活运用特殊三角形、平行线的性质完成角度计算与推导。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路如下：（1）交点同时在反比例函数和一次函数图象上，已知交点纵坐标，先代入一次函数求出交点横坐标，得到完整交点坐标后再代入反比例函数即可求出k值；画反比例函数图象时，先根据k的符号判断图象所在象限，再描关键节点用平滑曲线连接即可。（2）求y＞1时x的取值范围，可先求出反比例函数中y=1对应的x值，再结合反比例函数的图象性质和所在象限，确定满足条件的x区间，数形结合求解更直观。
【解析】
（1）求交点坐标及k值：
已知两函数交点的纵坐标为-1，将$y=-1$代入一次函数$y=-x+2$，得：
$-1=-x+2$
解得$x=3$，即交点坐标为$(3,-1)$。
将$(3,-1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$-1=\frac{k}{3}$
解得$k=-3$。
画反比例函数图象：
反比例函数为$y=\frac{-3}{x}$，$k=-3＜0$，图象位于第二、第四象限，描点$(-3,1)、(-1,3)、(1,-3)、(3,-1)$，用平滑曲线连接各点并延伸两端，即得反比例函数图象，如图。
（2）求y＞1时x的取值范围：
将$y=1$代入$y=\frac{-3}{x}$，得$1=\frac{-3}{x}$，解得$x=-3$。
由于$k=-3＜0$，在第二象限内（$x＜0$）y随x的增大而增大，因此当$y＞1$时，x的取值范围为$-3＜x＜0$。
【答案】
(1) $k=-3$，图象见
(2) $-3＜x＜0$
【知识点】
反比例函数的性质、一次函数与反比例函数交点、函数图象解不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的基础综合题，解题核心是利用“函数图象上的点满足函数解析式”求出参数，再结合图象性质求解不等式，渗透了数形结合的思想，是函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要证明AC=BD，结合圆中弦的性质，可通过作弦心距利用垂径定理求解：过圆心作AB的垂线，可同时平分大圆的弦AB和小圆的弦CD，再通过线段的和差关系即可推导出AC=BD。
（2）求CD的长度时，可设弦心距和CD的一半为未知数，结合勾股定理分别在大圆、小圆对应的直角三角形中列等式，联立消元求出未知数后即可得到CD的长。
【解析】
(1) 证明：过点O作$OM⊥ AB$，垂足为M。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。
$\because OM⊥ AB$，AB是大圆的弦，$\therefore AM=BM$；
同理CD是小圆的弦，$OM⊥ CD$，$\therefore CM=DM$；
$\therefore AM-CM=BM-DM$，即$AC=BD$。
(2) 设$OM=h$，$CM=x$，由垂径定理可得$CD=2x$，$AM=AC+CM=3+x$。
在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：$h^2+(3+x)^2=6^2$ ①；
在$Rt△ OMC$中，由勾股定理得：$h^2+x^2=4^2$ ②；
用①-②消去h，得：$(3+x)^2-x^2=36-16$，
展开化简得：$9+6x=20$，解得$x=\frac{11}{6}$，
$\therefore CD=2x=2×\frac{11}{6}=\frac{11}{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{11}{3}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，作弦心距是圆中解决弦长相关问题的常用辅助线，结合勾股定理建立方程即可快速求解，解题关键是熟练掌握垂径定理的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系。首先设降价金额为未知数x，再用x分别表示出降价后的单件利润和降价后的日销售量，最后根据总盈利为1200元的条件列出方程求解即可，求解后注意验证结果是否符合实际意义。
【解析】
解：设每件衬衫应降价x元。
降价后每件衬衫的利润为：$(40-x)$元
降价后商场平均每天的销售量为：$(20+2x)$件
根据“总利润=单件利润×销售量”，结合每天赢利1200元的要求，列方程得：
$(40−x)(20+2x)=1200$
展开整理方程：
$800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200$
移项合并同类项得：
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x-20)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=20$
经检验，$x=10$和$x=20$均符合实际销售要求，降价后单件利润为正，销售量也符合题意。
【答案】
每件衬衫应降价10元或20元。
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是典型的实际应用类方程问题，解题的关键是准确梳理题目中的数量关系，正确用含未知数的代数式表示出对应的量，建立方程求解，同时要注意结合实际情境判断解的合理性。
【难度系数】
0.7