【分析】
（1）本题运用整体换元思路解方程：第一步将括号内的$x-1$看作整体$y$，把原方程转化为关于$y$的一元二次方程，先求出$y$的解；第二步将$y=x-1$代回，得到关于$x$的两个一元一次方程；第三步求解一元一次方程即可得到原方程的解。
（2）本题仍用整体代换思想：观察两个方程的结构，将$kx+m$看作一个整体，结合已知方程$ax^2+bx+c=0$的解，得到关于$kx+m$的等式，再解关于$x$的一元一次方程即可。
【解析】
（1）先解关于$y$的方程$y^2+y=0$，因式分解得$y(y+1)=0$，解得$y_1=0,y_2=-1$；再将$y=x-1$代回，可得$x-1=0$或$x-1=-1$；最后解这两个一元一次方程，得$x_1=1,x_2=0$。
（2）已知方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=1,x_2=2$，将方程$a(kx+m)^2 + b(kx+m)+c=0$中的$kx+m$看作整体，可得$kx+m=1$或$kx+m=2$。
分别求解两个一元一次方程：
对$kx+m=1$，移项得$kx=1-m$，因为$k≠0$，所以$x_1=\frac{1-m}{k}$；
对$kx+m=2$，移项得$kx=2-m$，因为$k≠0$，所以$x_2=\frac{2-m}{k}$。
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=-1$；$x-1=0$或$x-1=-1$；$x_1=1,x_2=0$
(2) $x_1=\frac{1-m}{k},x_2=\frac{2-m}{k}$
【知识点】
1. 整体换元法
2. 一元二次方程的解的定义
3. 解一元一次方程
【点评】
本题重点考查整体代换思想在解方程中的应用，针对特殊结构的方程，将含未知数的代数式看作整体求解，可大幅简化计算过程，避免高次方程展开求解的繁琐，是解方程的常用技巧之一。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）已知AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得△ABC是直角三角形，直接用勾股定理即可计算BC的长度。
（2）①已知D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，可得对应圆周角相等，可通过构造全等三角形转化已知线段长度，再结合两个直角三角形的公共边AC，利用勾股定理列方程求解；也可借助角平分线的性质作垂线构造全等，结合面积法和勾股定理计算。
②D、E是$\overset{\frown}{AC}$的三等分点，利用弧相等得到对应角、弦的关系，结合勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
（1）
∵AB是半圆O的直径，
∴$∠ ACB=90°$，
在$Rt△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
（2）①方法一：如图①，连接BD，AC，延长AD、BC交于点M。
∵AB是半圆O的直径，
∴$∠ ADB=∠ ACB=90°$。
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，
∴$∠ ABD=∠ MBD$。
在$△ ABD$和$△ MBD$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ MDB=90° \\BD=BD \\∠ ABD=∠ MBD\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ MBD$（ASA），
∴$BM=AB=8$，$DM=AD=2$，
∴$AM=AD+DM=4$。
设$BC=x$，则$MC=BM-BC=8-x$，
在$Rt△ ACM$中，$∠ ACM=90°$，
∴$AC^2=AM^2-MC^2=4^2-(8-x)^2$，
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，
∴$AC^2=AB^2-BC^2=8^2-x^2$，
∴$4^2-(8-x)^2=8^2-x^2$，
展开化简得$16x=112$，解得$x=7$，即$BC=7$。
方法二：如图②，过点D分别作$DM⊥ AB$于M，$DN⊥ BC$交BC的延长线于N。
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，
∴$∠ ABD=∠ CBD$，$AD=CD$。
∵BD是$∠ ABC$的角平分线，$DM⊥ AB$，$DN⊥ BC$，
∴$DM=DN$。
在$Rt△ AMD$和$Rt△ CND$中：
$\begin{cases}AD=CD \\DM=DN\end{cases}$
∴$Rt△ AMD≌ Rt△ CND$（HL），
∴$CN=AM$。
在$△ DMB$和$△ DNB$中：
$\begin{cases}∠ DMB=∠ DNB=90° \\∠ ABD=∠ CBD \\BD=BD\end{cases}$
∴$△ DMB≌△ DNB$（AAS），
∴$BM=BN$。
∵AB是直径，
∴$∠ ADB=90°$，在$Rt△ ADB$中，$AD=2$，$AB=8$，
∴$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{64-4}=2\sqrt{15}$，
由$△ ABD$的面积得：$\frac{1}{2}· AB· DM=\frac{1}{2}· AD· BD$，
代入得$8DM=2×2\sqrt{15}$，解得$DM=\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∴$DN=DM=\frac{\sqrt{15}}{2}$。
在$Rt△ AMD$中，$AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=\sqrt{4-\frac{15}{4}}=\frac{1}{2}$，
∴$BM=AB-AM=8-\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$，
∴$CN=AM=\frac{1}{2}$，$BN=BM=\frac{15}{2}$，
∴$BC=BN-CN=\frac{15}{2}-\frac{1}{2}=7$。
②由三等分点的性质，结合弧、弦、圆周角的关系，运用勾股定理计算可得$BC=\frac{3}{2}\sqrt{15}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{7}$
(2) ① $7$
② $\frac{3}{2}\sqrt{15}$
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形相关知识，解题的关键是根据弧的等分性质构造合适的辅助线，结合方程思想求解，能有效提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6