24. 半圆O的直径$AB=8$，C为半圆上一点.
（1）若$AC=6$，则$BC$的长是
$2\sqrt{7}$
.
（2）① 如图①，若D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，且$AD=2$，求$BC$的长；
② 如图②，若D，E是$\overset{\frown}{AC}$的三等分点，且$AD=2$，直接写出$BC$的长.
答案：24. (1) $2\sqrt{7}$
(2) ① 方法一 如图①,连接BD,AC,延长AD,BC交于点M.
∵ AB是半圆O的直径,
∴ ∠ADB=∠ACB=90°.
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$.
∴ ∠ABD=∠MBD. 又
∵ BD=BD,∠ADB=∠MDB=90°,
∴ △ABD≌△MBD.
∴ BM=AB=8,DM=AD=2.
∴ AM=4. 设BC=x,则MC=(8−x). 在Rt△ACM中,∠ACM=90°,
∴ $AC^2=4^2−(8−x)^2$. 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,
∴ $AC^2=8^2−x^2$.
∴ $4^2−(8−x)^2=8^2−x^2$. 解这个方程,得x=7. 即BC=7. 方法二 如图②,过点D分别作DM⊥AB,DN⊥BC,垂足分别为M,N.
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$.
∴ ∠ABD=∠CBD,AD=CD.
∴ DM=DN.
∴ Rt△AMD≌Rt△CND.
∴ CN=AM. 又
∵ ∠DMB=∠DNB=90°,BD=BD,
∴ △DMB≌△DNB.
∴ BM=BN.
∵ AB是半圆O的直径,
∴ ∠ADB=90°.
∴ $BD=\sqrt{AB^2−AD^2}=2\sqrt{15}$.
∵ $\frac{1}{2}·AB·DM=\frac{1}{2}·AD·BD$,
∴ $DM=\sqrt{15}$.
∴ $DN=\frac{\sqrt{15}}{2}$. 在Rt△AMD和Rt△BMD中,根据勾股定理可得$AM=\frac{1}{2},BM=\frac{15}{2}$.
∴ $CN=\frac{1}{2},BN=\frac{15}{2}$.
∴ $BC=BN−CN=7$
② $\frac{3}{2}\sqrt{15}$
