3. 若计算$\frac{x^2 +1}{x-6} ÷ \frac{x^3 +x}{□}$的结果为整式，则“
”中的式子可能是（
）。
A.$x-6$
B.$x^2 -6$
C.$\frac{1}{x^2 -6}$
D.$x^2 -6x$
答案：D
解析：
设“”中的式子为A，根据分式除法法则，将原式转化为乘法：
$\frac{x^2 +1}{x-6} ÷ \frac{x^3 +x}{A} = \frac{x^2 +1}{x-6} · \frac{A}{x^3 +x}$
对$x^3+x$因式分解得$x^3+x=x(x^2+1)$，代入后约去公因式$x^2+1$，化简得：
$\frac{A}{x(x-6)}$
要使计算结果为整式，则A必须能被$x(x-6)$整除：
代入A选项：$\frac{x-6}{x(x-6)}=\frac{1}{x}$，是分式，不符合；
代入B选项：$\frac{x^2-6}{x(x-6)}$无法约分为整式，不符合；
代入C选项：$\frac{1}{x(x-6)(x^2-6)}$，是分式，不符合；
代入D选项：$x^2-6x=x(x-6)$，$\frac{x(x-6)}{x(x-6)}=1$，是整式，符合要求。
4. 使式子$\frac{x+3}{x-3} ÷ \frac{x+2}{x+4}$有意义的$x$的取值范围是（
）.
A.$x≠3$且$x≠-4$
B.$x≠3$且$x≠-2$
C.$x≠3$，$x≠-4$且$x≠-2$
D.$x≠3$且$x≠-3$
答案：C
解析：
要使式子$\frac{x+3}{x-3} ÷ \frac{x+2}{x+4}$有意义，需满足所有分母不为0，且除式的值不为0：
1. 第一个分式的分母$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 第二个分式的分母$x+4≠0$，解得$x≠-4$；
3. 除式$\frac{x+2}{x+4}≠0$，即其分子$x+2≠0$，解得$x≠-2$。
综上，$x$的取值范围是$x≠3$，$x≠-4$且$x≠-2$。
5. 当$x=3$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{7}$时，求$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{3x - 3}{x + 1}$的值。
答案：解：
先化简原式：
$\begin{aligned}\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{3x - 3}{x + 1} &= \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} · \frac{x + 1}{3x - 3} \\&= \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{3(x-1)} \\&= \frac{1}{3}\end{aligned}$
因此当$x=3$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{7}$时，原式的值均为$\frac{1}{3}$。
6. 某超市以相同的总价购入了西蓝花和西红柿，已知购入西蓝花$(x-3)^2$ kg，购入西红柿$(x^2 -9)$ kg，其中$x＞3$，售完后，西蓝花和西红柿的销售收入都是270元.
（1）请用含$x$的代数式分别表示超市销售这两种蔬菜的单价；
（2）西蓝花的单价是西红柿的单价的多少倍？
答案：解：
（1）西蓝花的单价为：$\dfrac{270}{(x-3)^2}$ 元/千克
西红柿的单价为：$\dfrac{270}{x^2-9}$ 元/千克
（2）计算西蓝花单价是西红柿单价的倍数：
$\begin{aligned}\dfrac{270}{(x-3)^2} ÷ \dfrac{270}{x^2-9} &= \dfrac{270}{(x-3)^2} · \dfrac{x^2-9}{270} \\&= \dfrac{(x+3)(x-3)}{(x-3)^2} \\&= \dfrac{x+3}{x-3}\end{aligned}$
答：（1）西蓝花单价为$\dfrac{270}{(x-3)^2}$元/千克，西红柿单价为$\dfrac{270}{x^2-9}$元/千克；（2）西蓝花的单价是西红柿的单价的$\dfrac{x+3}{x-3}$倍。
