6.写出下列函数表达式,并求出自变量的取值范围.
(1)行走的路程是100km,求平均速度v(km/h)与所走时间t(h)之间的函数表达式;
(2)设等腰三角形顶角的度数为α,底角的度数为β,求α与β之间的函数表达式.
练综合 +
答案：
(1)$v=\frac {100}{t}(t＞0)$.
(2)$\alpha =180^{\circ }-2\beta (0^{\circ }＜\beta ＜90^{\circ })$.
解析：
【分析】
（1）解决第一问首先回忆行程问题的基本等量关系：路程=速度×时间，已知路程固定为100km，将公式变形即可得到v与t的函数关系；再结合时间的实际意义，时间不能为0或负数，即可确定t的取值范围。
（2）解决第二问先回忆三角形内角和定理以及等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等，三角形三个内角和为180°，根据内角和列等式变形即可得到α与β的函数关系；再结合三角形内角都为正数的性质，即可求出β的取值范围。
【解析】
（1）根据行程问题公式$\boldsymbol{s=vt}$，已知路程$s=100\mathrm{km}$，代入得：
$vt=100$，变形可得$v=\frac{100}{t}$。
由于时间$t$表示行走的时间，需满足$t＞0$，因此自变量$t$的取值范围是$t＞0$。
（2）根据三角形内角和为$180°$，且等腰三角形两个底角均为$β$，可得：
$α + 2β = 180°$，移项可得$α = 180° - 2β$。
由于三角形的内角必须为正数，因此$β＞0°$，且顶角$α＞0°$，即$180°-2β＞0°$，解得$β＜90°$，因此自变量$β$的取值范围是$0°＜β＜90°$。
【答案】
(1)$v=\frac {100}{t}(t＞0)$；
(2)$α =180^{\circ }-2β (0^{\circ }＜β ＜90^{\circ })$。
【知识点】
行程问题数量关系；等腰三角形性质；自变量取值范围确定
【点评】
本题属于函数基础题，核心是结合实际问题、几何性质推导函数关系式，易错点是容易遗漏自变量的取值范围，解题时要注意结合实际意义和几何限制条件，确保自变量取值符合场景要求。
【难度系数】
0.9
7.(2024.徐州中考)小明的速度与时间的函数关系如图所示,下列情境与之较为相符的是( )
A.小明坐在门口,然后跑去看邻居家的小狗,随后坐着逗小狗玩
B.小明攀岩至高处,然后顺着杆子滑下来,随后躺在沙地上休息
C.小明跑去接电话,然后坐下来电话聊天,随后步行至另一个房间
D.小明步行去朋友家,敲门发现朋友不在家,随后步行回家
答案：C
解析：
【分析】
解题时首先要拆分速度-时间图像的不同阶段，明确每个阶段速度变化对应的运动状态：速度上升对应加速运动，速度下降对应减速运动，速度为0对应静止，速度恒定对应匀速运动，同时还要对比不同阶段的速度大小，对应实际情境中运动的快慢。先总结出图像三个阶段的运动特征，再逐一比对选项，找到完全匹配的选项即可。
【解析】
首先分析速度-时间图像的三个阶段特征：
1. 第一阶段：速度先快速增大到较大的峰值，随后减小到0，对应先以较快的速度运动，后停下；
2. 第二阶段：有一段时长速度保持为0，对应静止状态；
3. 第三阶段：速度再次增大，最终稳定在一个远小于第一阶段峰值的数值上匀速运动，对应后续以较慢的速度匀速运动。
逐一分析选项：
A. 最后坐着逗小狗玩为静止状态，不符合第三阶段有运动的特征，排除；
B. 最后躺在沙地上休息为静止状态，不符合第三阶段有运动的特征，排除；
C. 跑去接电话对应第一阶段快速运动后停下，坐下来聊天对应第二阶段静止，步行去另一个房间对应第三阶段慢速匀速运动，完全符合图像特征；
D. 往返都是步行，速度大小相近，不符合第一阶段速度大、第三阶段速度小的特征，排除。
【答案】
C
【知识点】
速度时间图像，函数图像的实际应用
【点评】
本题结合生活情境考查函数图像的识别，解题核心是将图像中速度的变化规律和实际运动状态一一对应，需要学生具备一定的读图分析和联系实际的能力。
【难度系数】
0.7
8.如果两个变量x,y之间的函数关系如图所示,则函数值y的取值范围
是______.
答案：$0\leqslant y\leqslant 3$
解析：
【分析】
要确定函数值y的取值范围，需观察函数图象上所有点的纵坐标的取值：首先找到图象中点的纵坐标的最大值和最小值，再结合端点是否为实心点（判断端点值能否取到），即可得到y的取值范围。
【解析】
观察图象中的各点：
纵坐标最大的点是B(-2,3)，即y的最大值为3，且B为实心点，y可取到3；
纵坐标最小的点是C(1,0)，即y的最小值为0，且C为实心点，y可取到0；
图象其余部分的点的纵坐标都在0到3之间，因此函数值y的取值范围是$0≤ y≤ 3$。
【答案】
$0≤ y≤ 3$
【知识点】
函数的图象；函数值的取值范围
【点评】
本题是基础题，解题的关键是掌握从函数图象中提取信息的方法，明确函数值的范围对应图象上所有点纵坐标的取值范围，注意区分实心点和空心点对端点取值的影响。
【难度系数】
0.9
9.如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 6,BC= 8,设P为BC上任一点,P点与B,C不重合,若CP=
x,S△APB= y.则y与x之间的函数表达式为______,自变量x的取值范围为______.
答案：$y=\frac {1}{2}× (8-x)× 6$(或化简为$y=24-3x$) $0＜x＜8$
解析：
【分析】
要得到y与x的函数表达式，首先回忆三角形面积公式，需要先确定△APB的底和对应高：观察图形可知，△APB的边PB在BC上，∠C=90°说明AC⊥BC，因此AC就是△APB中PB边上的高。先通过BC和CP的长度表示出PB的长，再代入面积公式即可得到关系式；最后根据P不与B、C重合的限制，就能确定x的取值范围。
【解析】
1. 表示PB的长度：已知BC=8，CP=x，因此$PB=BC-CP=8-x$；
2. 确定△APB的高：因为$∠ C=90°$，即$AC⊥ BC$，所以PB边上的高为AC，长度为6；
3. 代入三角形面积公式：$S_{△ APB}=\frac{1}{2}×底×高$，将$PB=8-x$、高=6代入得：
$y=\frac{1}{2}×(8-x)×6$，化简后为$y=24-3x$；
4. 确定自变量取值范围：因为P在BC上且不与B、C重合，因此CP的长度x大于0、小于BC的总长8，即$0＜x＜8$。
【答案】
$y=24-3x$（或$y=\frac{1}{2}×(8-x)×6$）；$0＜x＜8$
【知识点】
三角形面积计算；列函数关系式；自变量取值范围
【点评】
本题是基础类几何函数综合题，解题核心是准确识别所求三角形的底和对应高，结合图形性质列关系式，要注意根据点的位置限制确定自变量的取值范围，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.8
10.(嘉兴中考)根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”,前30m称为“加速期”,30m~80m为“中
途期”,80m~100m为“冲刺期”.市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时的速度y(m/s)与路
程x(m)之间的观测数据,绘制成曲线如图所示.
(1)y是关于x的函数吗？为什么？
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为多少？
(3)根据图中提供的信息,给小斌提一条训练建议.
答案：
(1)y 是关于 x 的函数.因为在这个变化过程中,对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与之对应.
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为 10.4 m/s.
(3)答案不唯一.例如:根据图象信息,小斌在 80 m 左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩.
解析：
【分析】
(1) 判断y是否为x的函数，需依据函数的定义分析：若对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，对照该定义验证即可。
(2) 题意明确前30m为加速期，因此加速期结束对应路程x=30m，只需从图象中读取x=30对应的纵坐标y的值，就是此时的速度。
(3) 观察图象的速度变化规律，找到速度明显下降的区间，结合运动训练的常识给出合理建议即可。
【解析】
(1) 按照函数的定义，在速度y随路程x变化的过程中，每取一个确定的路程x，都有唯一确定的速度y和它对应，因此y是关于x的函数。
(2) 加速期结束时路程为30m，观察图象可得，x=30m时对应的速度为10.4m/s。
(3) 从图象可知小斌在80m处左右速度出现明显下降，说明后程耐力不足，因此可以建议他增加耐力训练，提升后程速度的稳定性，进而提高百米成绩（建议合理即可）。
【答案】
(1)y 是关于 x 的函数.因为在这个变化过程中,对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与之对应.
(2)“加速期”结束时,小斌的速度为 10.4 m/s.
(3)答案不唯一.例如:根据图象信息,小斌在 80 m 左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩.
【知识点】
函数的定义，函数图象的应用
【点评】
本题结合实际运动场景考查函数相关知识，贴近生活，既考查了对函数基础定义的掌握，也考查了从图象中提取有效信息、结合实际分析问题的能力，开放性设问引导学生学以致用，灵活性较强。
【难度系数】
0.8
