11.某公交车每天的支出费用为600元,每天的乘车人数x(人)与每天利润(利润= 票款收入-支出
费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的乘车票价固定不变).
x/人 200 250 300 350 400
y/元 -200 -100 0 100 200
根据表格中的数据,回答下列问题:
(1)自变量是______.
(2)观察表中数据可知,当每天的乘客量达到______人以上时,该公交车才不会亏损.
(3)请写出公交车每天利润y(元)与每天乘车人数x(人)的表达式:______.
(4)当一天乘车人数为多少入时,利润是1000元？
答案：
(1)每天的乘车人数
(2)300
(3)$y=2x-600$
(4)把$y=1000$代入$y=2x-600$,得$2x-600=1000$,解得$x=800.$
∴ 当一天乘车人数为 800 人时,利润为 1000 元.
解析：
【分析】
(1) 先回忆自变量的定义：在变化过程中主动变化、会引起其他量随之变化的量，本题中利润y随乘车人数x的变化而变化，据此可判断自变量；(2) 公交车不亏损即利润≥0，找到表格中y=0对应的x值，超过该值就不会亏损；(3) 观察表格数据可知x每增加50，y对应增加100，说明y是x的一次函数，先计算单人票价：每多50人利润多100元，因此单人票价为100÷50=2元，再结合“利润=票款收入-支出费用”的关系即可写出表达式，也可用待定系数法设一次函数解析式代入表格数据求解；(4) 求利润为1000元对应的乘车人数，只需将y=1000代入所求表达式，解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 本题中每天的利润y随每天乘车人数x的变化而变化，因此自变量是每天的乘车人数。
(2) 公交车不亏损即利润y≥0，由表格可知当y=0时，x=300，因此当每天的乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损。
(3) 观察表格数据，乘车人数每增加50人，利润增加100元，因此每位乘客的乘车票价为$100÷50=2$元。根据利润=票款收入-支出费用，票款收入为$2x$元，固定支出为600元，因此利润y与乘车人数x的表达式为$y=2x-600$。
(4) 当利润$y=1000$元时，将其代入$y=2x-600$得：
$2x-600=1000$
移项计算得$2x=1600$，解得$x=800$。
【答案】
(1)每天的乘车人数
(2)300
(3)$y=2x-600$
(4)800人
【知识点】
自变量的概念，一次函数解析式，一次函数的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查函数基础概念和一次函数的简单应用，解题时结合表格数据规律和题干给出的利润关系即可顺利求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
12.几何直观.运算能力如图①,在长方形ABCD中,AB= 10cm,BC= 8cm,点P从A出发,沿A→
B→C→D路线运动,到D停止,点P的速度为每秒1cm,a秒时点P的速度变为每秒bcm,图②
是点P出发x秒后,△APD的面积$S,(cm^2)$与x(秒)的函数关系图象.
(1)根据图②中提供的信息,a= ______,b= ______,C= ______.
(2)点P出发后几秒,△APD的面积S,是长方形ABCD面积的四分之一？
答案：
(1)6 2 17 解析:由题中函数图象可知,当$x=a$时,$S_{1}=\frac {1}{2}× 8a=24$,即$a=6$;当$x=8$时,$S_{1}=\frac {1}{2}× 8× [6× 1+b(8-6)]=40$,即$b=2$;
当$8＜x\leqslant c$时,①当点 P 从 B 点运动到 C 点,$\triangle APD$的面积$S_{1}=\frac {1}{2}× 8× 10=40(cm^{2})$一定,所需时间是$8÷ 2=4$(秒);②当点 P 从 C 点运动到 D 点,所需时间是$10÷ 2=5$(秒).所以$c=8+4+5=17$(秒).
(2)
∵ 长方形 ABCD 面积是$10× 8=80(cm^{2})$,
∴ 当$0\leqslant x\leqslant 6$时,$\frac {1}{2}× 8x=80× \frac {1}{4}$,即$x=5$;
当$12\leqslant x\leqslant 17$时,$\frac {1}{2}× 8× 2(17-x)=80× \frac {1}{4}$,即$x=14.5$.
∴ 点 P 出发后 5 秒或 14.5 秒,$\triangle APD$的面积$S_{1}$是长方形 ABCD 面积的四分之一.
解析：
【分析】
（1）首先明确△APD的面积计算逻辑：长方形ABCD中AD=BC=8cm，△APD以AD为底时，高等于点P到AD的水平距离，面积$S_1=\frac{1}{2}×AD×$高。先结合x=a时$S_1=24$的条件，代入面积公式即可求出a的值；再根据x=8时$S_1=40$对应点P刚好到达B点，计算a到8秒内点P的运动路程，就能求出变速后的速度b；最后分别计算点P在BC段、CD段的运动时间，与前8秒相加即可得到c的值。
（2）先计算出长方形面积的四分之一为$20cm^2$，分两种情况讨论：①点P在AB段运动时，面积随x增大而上升，代入面积公式列方程求解；②点P在CD段运动时，面积随x增大而下降，先写出该段的面积表达式，再列方程求解即可。
【解析】
(1) 由题意得△APD的面积$S_1=\frac{1}{2}×AD×$点P到AD的距离，其中AD=8cm：
①当x=a时，$S_1=24$，此时点P在AB上，运动速度为1cm/s，点P到AD的距离为$a×1=a$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×8×a=24$，解得$a=6$；
②当x=8时，$S_1=40$，对应点P到AD的距离为AB=10cm，即点P刚好到达B点。6秒到8秒共2秒，点P运动的路程为$10-6×1=4cm$，因此变速后的速度$b=4÷2=2cm/s$；
③点P在BC段运动时，到AD的距离恒为10cm，因此$S_1$保持$40cm^2$不变，BC长8cm，运动时间为$8÷2=4s$；点P在CD段运动时，CD长10cm，运动时间为$10÷2=5s$，因此总时间$c=8+4+5=17$。
(2) 长方形ABCD的面积为$10×8=80cm^2$，其四分之一为$80×\frac{1}{4}=20cm^2$，分两种情况讨论：
①当$0≤x≤6$时，点P在AB上，$S_1=\frac{1}{2}×8×x=4x$，令$4x=20$，解得$x=5$；
②当$12≤x≤17$时，点P在CD上，此时点P到AD的距离为$10-2(x-12)=34-2x$，$S_1=\frac{1}{2}×8×(34-2x)=136-8x$，令$136-8x=20$，解得$x=14.5$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；$\boxed{2}$；$\boxed{17}$
(2) 点P出发后$\boxed{5秒}$或$\boxed{14.5秒}$时，△APD的面积$S_1$是长方形ABCD面积的四分之一。
【知识点】
动点函数图象；三角形面积计算；分段函数应用
【点评】
本题结合动点运动过程和函数图象考查分段函数的实际应用，解题核心是理清不同运动阶段对应的图象意义，结合几何图形的面积公式分情况讨论，注意不要遗漏CD段的解。
【难度系数】
0.65
