【分析】
本题为等边三角形背景下的线段数量关系探究题，核心思路是作平行线构造等边三角形和全等三角形完成线段转化。
(1) 要证AD=CE，先过D作DP//BC交AB于P：首先利用等边三角形和平行线的性质，证△APD是等边三角形，得到AD=PD，将问题转化为证PD=CE；再结合BD=DE的条件推导角相等，证明△BPD与△DCE全等，即可得到PD=CE，推导出结论。
(2) 当D在AC延长线上时，沿用相同思路，过D作DP//BC交AB的延长线于P，先证△APD为等边三角形得AD=PD，再证△BPD≌△DCE得PD=CE，即可验证结论仍成立。
【解析】
(1) $AD = CE$，理由如下：
如图①，过点D作$DP// BC$，交AB于点P。
∵$△ ABC$是等边三角形，$DP// BC$，
∴$∠ APD = ∠ ABC = ∠ ADP = 60°$，$∠ BPD = ∠ DCE = 120°$，$△ APD$是等边三角形，
∴$PD = AD$。
∵$DB = DE$，
∴$∠ DBC = ∠ DEC$。
∵$DP// BC$，
∴$∠ PDB = ∠ CBD$，
∴$∠ PDB = ∠ DEC$。
在$△ BPD$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}∠ BPD = ∠ DCE,\\∠ PDB = ∠ CED,\\BD = DE,\end{cases}$
∴$△ BPD≌△ DCE(\mathrm{AAS})$，
∴$PD = CE$，
∴$AD = CE$。
(2) (1)中的结论成立，理由如下：
如图②，过点D作$DP// BC$，交AB的延长线于点P。
∵$△ ABC$是等边三角形，$DP// BC$，
∴$∠ A = ∠ APD = ∠ ABC = ∠ ADP = ∠ ACB = ∠ DCE = 60°$，
∴$△ APD$是等边三角形，
∴$PD = AD$。
∵$DB = DE$，
∴$∠ DBC = ∠ E$。
∵$DP// BC$，
∴$∠ PDB = ∠ DBC$，
∴$∠ PDB = ∠ E$。
在$△ BPD$和$△ DCE$中，
$\begin{cases}∠ BPD = ∠ DCE,\\∠ PDB = ∠ CED,\\BD = DE,\end{cases}$
∴$△ BPD≌△ DCE(\mathrm{AAS})$，
∴$PD = CE$，
∴$AD = CE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AD=CE}$，理由见解析；
(2) (1)中的结论成立，理由见解析。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于动态几何探究题，动点位置变化但核心解题逻辑一致，通过构造辅助线实现线段转化是解题关键，既考察了几何基础性质的应用，也有助于锻炼转化思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
