7. 如图,$CA \perp AB$,垂足为$A$,$AB= 8\ cm$,$AC= 4\ cm$,射线$BM \perp AB$,垂足为$B$,一动点$E从点A$出发,以$2\ cm/s的速度沿射线AN$运动,点$D为射线BM$上一动点,随着点$E$运动而运动,且始终保持$ED= CB$,当点$E离开点A$后,运动______$s$时,$\triangle DEB与\triangle BCA$全等.
答案：2 或 6 或 8 解析:①当点 E 在线段 AB 上,AC=BE 时,△ACB≌△BED.
∵AC=4 cm,
∴BE=4 cm,
∴AE=8-4=4(cm),
∴点 E 的运动时间为 4÷2=2(s).②当点 E 在 BN 上,AC=BE 时,△ACB≌△BED.
∵AC=4 cm,
∴BE=4 cm,
∴AE=8+4=12(cm),
∴点 E 的运动时间为 12÷2=6(s).③当点 E 在线段 AB 上,AB=EB 时,△ACB≌△BDE,这时点 E 在点 A 未动,因此时间为 0 s,不合题意,舍去.④当点 E 在 BN 上,AB=EB 时,△ACB≌△BDE,
∵AB=8 cm,
∴BE=8 cm,
∴AE=AB+BE=8+8=16(cm),
∴点 E 的运动时间为 16÷2=8(s).综上所述,点 E 运动 2 s 或 6 s 或 8 s 时,△DEB 与△BCA 全等.
解析：
【分析】
本题是动点结合直角三角形全等的问题，解题思路如下：首先明确△DEB和△BCA都是直角三角形，且已知斜边ED=CB，因此只需满足一组直角边对应相等即可判定两三角形全等；其次要考虑点E的位置，既可能在线段AB上，也可能在射线BN上，同时还要考虑全等的对应边有两种情况：AC=BE或AB=BE；最后结合“点E离开点A后”的限制条件，排除不符合的情况，分别计算不同情况下点E的运动时间即可。
【解析】
分情况讨论：
①当点E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED（HL）。
已知AC=4 cm，因此BE=4 cm，
则AE=AB-BE=8-4=4(cm)，
点E的运动速度为2 cm/s，运动时间为$4÷2=2(\mathrm{s})$。
②当点E在BN上，AC=BE时，△ACB≌△BED（HL）。
已知AC=4 cm，因此BE=4 cm，
则AE=AB+BE=8+4=12(cm)，
运动时间为$12÷2=6(\mathrm{s})$。
③当点E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE（HL），此时点E未离开点A，时间为0 s，不符合题意，舍去。
④当点E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE（HL）。
已知AB=8 cm，因此BE=8 cm，
则AE=AB+BE=8+8=16(cm)，
运动时间为$16÷2=8(\mathrm{s})$。
综上，符合要求的运动时间为2s或6s或8s。
【答案】
2或6或8
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；动点分类讨论
【点评】
本题将动点问题与全等三角形判定结合，解题的关键是根据动点的位置和全等的对应关系分类讨论，避免漏解，同时要注意题目给出的限制条件，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.5
8. 如图,已知$AD是\triangle ABC$的高,$E为AC$上的一点,$BE交AD于点F$,且有$BF= AC$,$FD= CD$.求证:$BE \perp AC$.
答案：
∵AD⊥BC,
∴∠BDF=∠ADC=90°.在 Rt△BDF 和 Rt△ADC 中,{BF=AC,FD=CD,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL),
∴∠BFD=∠C.
∵∠DBF+∠BFD=90°,
∴∠C+∠DBF=90°.
∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°,
∴∠BEC=90°,即 BE⊥AC.
解析：
【分析】
要证明BE⊥AC，本质是要证明∠BEC=90°。首先从已知条件入手：AD是△ABC的高，可得∠BDF=∠ADC=90°，即△BDF和△ADC都是直角三角形，同时题目给出BF=AC、FD=CD，符合直角三角形全等的HL判定条件，因此可先证明这两个三角形全等；再利用全等三角形对应角相等得到∠BFD=∠C，结合直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠C与∠DBF的和为90°，最后结合三角形内角和定理即可求出∠BEC=90°，得到垂直结论。
【解析】
证明：
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，即∠BDF=∠ADC=90°。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ ADC$中：
$\begin{cases} BF=AC \\ FD=CD \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL})$，
∴∠BFD=∠C。
∵在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，∠DBF+∠BFD=90°，
∴将∠BFD替换为∠C，可得∠C+∠DBF=90°。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°：
∠C+∠DBF+∠BEC=180°，
代入∠C+∠DBF=90°，得：
∠BEC=180°-90°=90°，
即BE⊥AC。
【答案】
BE⊥AC
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是先通过HL判定证明直角三角形全等，得到角的等量关系，再通过角的代换推导得到直角，需要熟练掌握全等三角形的判定方法，以及垂直相关的角的运算技巧。
【难度系数】
0.7
9. (2023·南通中考)如图,点$D,E分别在AB,AC$上,$\angle ADC= \angle AEB= 90^\circ$,$BE,CD相交于点O$,$OB= OC$.求证:$\angle 1= \angle 2$.
小虎同学的证明过程如下：
| 证明:∵$\angle ADC= \angle AEB= 90^\circ$,∴$\angle DOB+\angle B= \angle EOC+\angle C= 90^\circ$.∵$\angle DOB= \angle EOC$,∴$\angle B= \angle C$.……第一步 又$OA= OA$,$OB= OC$,∴$\triangle ABO \cong \triangle ACO$.……第二步 ∴$\angle 1= \angle 2$.……第三步 |
| :- |
(1)小虎同学的证明过程中,第______步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程.
答案：
(1)二
(2)
∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=90°.在△DOB 和△EOC 中,{∠BDO=∠CEO,∠DOB=∠EOC,OB=OC,
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE.在 Rt△ADO 和 Rt△AEO 中,{OD=OE,OA=OA,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.
解析：
【分析】
(1) 分析小虎的证明逻辑：第一步利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等推导∠B=∠C是正确的；第二步证明△ABO≌△ACO时，用到的条件为OA=OA，OB=OC，∠B=∠C，属于“两边及其中一边的对角对应相等（SSA）”，不符合三角形全等的判定规则，因此第二步错误。
(2) 正确解题思路：先根据已知的垂直关系、对顶角相等及OB=OC，用AAS判定△DOB≌△EOC，得到OD=OE；再以OA为公共边，用HL判定两个直角三角形△ADO和△AEO全等，即可由全等三角形对应角相等得到∠1=∠2。
【解析】
(1) 由于SSA不能作为三角形全等的判定依据，因此小虎的证明过程第二步出现错误。
(2) 正确证明过程：
∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠BDC=∠CEB=90°。
在$△ DOB$和$△ EOC$中，
$\begin{cases}∠BDO=∠CEO \\∠DOB=∠EOC \\OB=OC\end{cases}$
∴$△ DOB≌△ EOC$（AAS），
∴$OD=OE$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中，
$\begin{cases}OD=OE \\OA=OA\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO$（HL），
∴$∠1=∠2$。
【答案】
(1) 二
(2) 证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定、HL定理、对顶角的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，重点考查全等三角形判定定理的应用，需注意SSA不能判定一般三角形全等，解题时要结合已知条件选择合适的全等判定方法，通过证三角形全等来推导角相等是常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
10. 几何直观·推理能力 如图,$AB= AD$,$CB \perp AB$,$CD \perp AD$,$E,F分别是BC,DC$的中点.求证:$AE= AF$.
答案：连接 AC,
∵CB⊥AB,CD⊥AD,
∴∠B=∠D=90°.在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中,{AB=AD,AC=AC,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴BC=DC.
∵点 E,F 分别是 BC,CD 的中点,
∴BE=1/2BC,DF=1/2CD,
∴BE=DF.在△ABE 和△ADF 中,{AB=AD,∠B=∠D,BE=DF,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴AE=AF.
解析：
【分析】
要证明AE=AF，可通过证明AE、AF所在的△ABE和△ADF全等实现。已知AB=AD，∠B、∠D均为直角，缺少边BE=DF的条件。由于E、F是BC、DC的中点，故需先证BC=DC。可连接AC，利用HL证明Rt△ABC与Rt△ADC全等，得到BC=DC，进而得到BE=DF，最终证明△ABE≌△ADF即可得结论。
【解析】
证明：连接AC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
$\begin{cases} AB=AD \\ AC=AC \end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴BC=DC。
∵点E，F分别是BC，CD的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=DF。
在△ABE和△ADF中，
$\begin{cases} AB=AD \\ ∠ B=∠ D \\ BE=DF \end{cases}$
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF。
【答案】
AE=AF
【知识点】
1. 直角三角形全等判定（HL）
2. 全等三角形的判定与性质
3. 中点的性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用类题目，核心是通过添加辅助线构造全等三角形，将待证边相等的问题转化为两次三角形全等的证明，需要熟练掌握全等三角形的各类判定定理，明确边、角相等关系的转化逻辑。
【难度系数】
0.7
