1. 如图,欲测量内部无法到达的古塔相对两点A,B间的距离,可延长AO至C,使$CO= AO$,延长BO至D,使$DO= BO$,则$\triangle COD \cong \triangle AOB$,从而通过测量CD就可得A,B间的距离,其全等的根据是( )
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
答案：A
解析：
【分析】
要判断两个三角形全等的依据，首先需找出△COD和△AOB中已知的相等元素：题目中通过构造得到CO=AO、DO=BO，其次∠COD和∠AOB是对顶角，根据对顶角的性质可知二者相等。此时两个三角形满足两边及其夹角对应相等，对应全等三角形的SAS判定定理，即可得出答案。
【解析】
在$△ COD$和$△ AOB$中：
$\begin{cases}CO=AO（已知构造）,\\∠ COD=∠ AOB（对顶角相等）,\\DO=BO（已知构造）,\end{cases}$
因此$△ COD ≌ △ AOB$，符合全等三角形的SAS判定依据，故选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的实际应用类基础题，通过构造全等三角形可将无法直接测量的线段转化为可测量的线段，解题关键是准确找到两个三角形中对应的相等边和夹角，熟记全等判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. (扬州中考)如图,小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了,需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为$\triangle ABC$,提供下列各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合要求的是 ( )
A.AB,BC,CA
B.AB,BC,$\angle B$
C.AB,AC,$\angle B$
D.$\angle A$,$\angle B$,BC
答案：C
解析：
【分析】
要配出和原三角形完全相同的玻璃，本质是要新得到的三角形和原△ABC全等，因此问题可转化为判断各选项给出的三个条件是否能判定两个三角形全等，我们只需结合全等三角形的判定定理逐一验证每个选项即可。
【解析】
若给出的条件可判定两个三角形全等，则配出的玻璃一定符合要求，结合全等三角形的判定定理分析：
选项A：给出三边AB、BC、CA，符合全等三角形SSS判定定理，可唯一确定三角形，一定符合要求；
选项B：给出两边AB、BC和它们的夹角∠B，符合全等三角形SAS判定定理，可唯一确定三角形，一定符合要求；
选项C：给出两边AB、AC和∠B，∠B是边AC的对角，不属于两边的夹角，为SSA情形，SSA无法判定一般三角形全等，不能唯一确定三角形，因此配出的玻璃不一定符合要求；
选项D：给出两角∠A、∠B和边BC，BC是∠A的对边，符合全等三角形AAS判定定理，可唯一确定三角形，一定符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形判定的实际应用，解题的关键是明确只有符合全等判定定理的条件才能确定唯一的三角形，要特别注意SSA不能判定一般三角形全等这个易错点。
【难度系数】
0.7
3. (2023·吉林中考)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$.分别以点B和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧交于点D,作直线AD交BC于点E.若$\angle BAC = 110^\circ$,则$\angle BAE$的大小为 ( )
A.$45^\circ$
B.$50^\circ$
C.$55^\circ$
D.$60^\circ$
答案：C
解析：
【分析】
首先，由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形；其次，题中的尺规作图是作线段BC的垂直平分线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知AE是∠BAC的角平分线，最后用∠BAC的度数除以2即可求出∠BAE的大小。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形。
根据尺规作图的步骤可知，直线AD是线段BC的垂直平分线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD平分∠BAC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一，尺规作垂直平分线，角的计算
【点评】
本题是基础题，将尺规作图和等腰三角形性质结合考查，解题的关键是正确识别尺规作图的结果，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质。
【难度系数】
0.8
4. 如图,点O在AD上,$\angle A = \angle C$,$\angle AOC = \angle BOD$,$AB= CD$,$AD= 6$,$OB= 2$,则OC的长为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.6
答案：C
解析：
【分析】
要计算OC的长度，可先通过证明三角形全等得到边的等量关系。首先观察已知角的关系：∠AOC=∠BOD，给两个角同时加上公共角∠COB，可推导得出∠AOB=∠COD；再结合已知的∠A=∠C、AB=CD，即可用AAS判定△AOB和△COD全等；最后利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知线段长度计算即可得到OC的长。
【解析】
∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC+∠COB=∠BOD+∠COB，即∠AOB=∠COD
在△AOB和△COD中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ C\\ ∠ AOB=∠ COD\\ AB=CD\end{array} $
∴△AOB≌△COD（AAS）
∴OB=OD，AO=OC
∵OB=2，
∴OD=2
又
∵AD=6
∴AO=AD-OD=6-2=4
∴OC=AO=4
【答案】
C
【知识点】
全等三角形AAS判定，全等三角形的性质，角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题核心是通过角的和差推导得到全等所需的等角条件，再利用全等性质转化边的关系求解，是三角形部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,$\triangle AOB \cong \triangle ADC$,点B和点C是对应顶点,$\angle O = \angle D = 90^\circ$,记$\angle OAD = \alpha$,$\angle ABO = \beta$,$\angle ABC = \angle ACB$,当$BC // OA$时,$\alpha与\beta$之间的数量关系为 ( )
A.$\alpha=\beta$
B.$\alpha=2\beta$
C.$\alpha+\beta=90^\circ$
D.$\alpha+2\beta=180^\circ$
答案：B
解析：
【分析】
解题时先利用全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等，推出∠BAC与α的等量关系；再结合等腰三角形内角和性质表示出∠ABC的度数；最后根据平行线同旁内角互补的性质，建立α和β的等式，化简即可得到二者的数量关系。
【解析】
∵ △AOB ≌ △ADC，点B和点C是对应顶点
∴ AB=AC，∠OAB=∠DAC
∴ ∠OAB + ∠BAD = ∠DAC + ∠BAD，即∠BAC=∠OAD=α
∵ AB=AC，∠ABC=∠ACB
∴ $∠ ABC = \frac{180° - ∠ BAC}{2} = \frac{180° - α}{2}$
∵ BC // OA，∠O=90°
∴ ∠O + ∠OBC = 180°，解得∠OBC=90°
又
∵ $∠ OBC = ∠ ABO + ∠ ABC = β + \frac{180° - α}{2}$
∴ $β + \frac{180° - α}{2} = 90°$
等式两边同乘2得：$2β + 180° - α = 180°$
化简得：$α=2β$
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题综合考查了几何多个基础性质的应用，解题核心是通过全等找到角的等量关系，结合等腰三角形和平行线的性质建立未知角的等式，是全等三角形章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在$\triangle ABC$中,点E,F分别是AB,AC边上的点,$EF // BC$,点D在BC边上,连接DE,DF,请你添加一个条件 ______,使$\triangle BED \cong \triangle FDE$.(写一个即可)
答案：BD=EF（答案不唯一）
解析：
【分析】
首先从已知条件出发：由$EF// BC$可得内错角$∠ DEF=∠ EDB$，同时$△ BED$和$△ FDE$有公共边$DE=ED$，此时已具备一组边相等、一组角相等的判定条件。结合全等三角形的判定定理，若用SAS判定全等，只需添加夹该等角的另一组边相等即可，即$BD=EF$；也可添加角相等的条件（如$∠ B=∠ DFE$、$∠ BED=∠ EDF$等），任选其一即可。
【解析】
解：$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ DEF=∠ EDB$（两直线平行，内错角相等），
若添加条件$BD=EF$，
在$△ BED$和$△ FDE$中：
$\{\begin{array}{l}BD=EF（添加的条件）\\∠ EDB=∠ DEF（已证）\\DE=ED（公共边）\end{array} $
$\therefore △ BED≌△ FDE$（SAS）。
（注：添加其他合理条件也可）
【答案】
$BD=EF$（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于开放性题目，需要先结合已知条件推导得到已有的全等判定要素，再补充缺少的判定条件即可，答案不唯一，能有效考查对全等三角形判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
7. 已知$\triangle ABC$的三边长分别为5,7,8,$\triangle DEF$的三边长分别为5,$2x$,$3x-5$,若这两个三角形全等,则$x= ______.$
答案：4
解析：
【分析】
本题考查全等三角形的性质应用，解题思路如下：首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。已知两个三角形都有一条边长为5，因此剩下的两组边需要对应相等，由于对应关系不明确，需分两种情况讨论：①△ABC中长为7的边对应△DEF中长为2x的边，长为8的边对应长为3x-5的边；②△ABC中长为7的边对应△DEF中长为3x-5的边，长为8的边对应长为2x的边。分别求解两种情况的x值，舍去矛盾的情况，最终得到正确的x值。
【解析】
∵△ABC与△DEF全等，
∴两个三角形的对应边相等。
已知两个三角形均有边长为5的边，因此剩余两组边对应相等，分两种情况讨论：
情况一：$\begin{cases}2x=7 \\ 3x-5=8\end{cases}$
解第一个方程得$x=3.5$，解第二个方程得$x=\frac{13}{3}$，两个x值不相等，不符合要求，舍去该情况。
情况二：$\begin{cases}2x=8 \\ 3x-5=7\end{cases}$
解第一个方程得$x=4$，将$x=4$代入第二个方程左边：$3×4 -5=7$，与右边相等，符合要求。
综上，$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
全等三角形的性质、解一元一次方程、分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确全等三角形对应边相等的性质，注意对应边不明确时要分类讨论所有可能的对应情况，求出解后需验证是否符合题意，避免出现漏解或错解的问题。
【难度系数】
0.7
8. 如图,$AC和BD$相交于点O,$AB= DC$,$AC= BD$,则图中全等的三角形共有 ______对,分别是 ______.
答案：3 △ABC≌△DCB、△ACD≌△DBA、△AOB≌△DOC
解析：
【分析】
解题时先从已知的边相等条件入手，优先寻找含有公共边的三角形，利用SSS判定定理证明大三角形全等；再借助全等三角形对应角相等的性质，结合对顶角相等的条件，证明小三角形全等，最后统计全等三角形的对数即可。
第一步：观察已知条件AB=DC、AC=BD，首先看边BC是△ABC和△DCB的公共边，边AD是△ABD和△DCA的公共边，可先证这两对大三角形全等；
第二步：利用前两对全等得到的对应角相等，结合对顶角相等和已知的AB=DC，可证中间的△AOB和△DOC全等。
【解析】
1. 证明$\boldsymbol{△ ABC≌△ DCB}$：
在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\begin{cases} AB=DC(\mathrm{已知}) \\ AC=BD(\mathrm{已知}) \\ BC=CB(\mathrm{公共边}) \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ DCB$（SSS）。
2. 证明$\boldsymbol{△ ABD≌△ DCA}$：
在$△ ABD$和$△ DCA$中，
$\begin{cases} AB=DC(\mathrm{已知}) \\ BD=AC(\mathrm{已知}) \\ AD=DA(\mathrm{公共边}) \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ DCA$（SSS）。
3. 证明$\boldsymbol{△ AOB≌△ DOC}$：
由$△ ABC≌△ DCB$可得$∠ BAC=∠ CDB$，
又
∵$∠ AOB=∠ DOC$（对顶角相等），$AB=DC$（已知），
∴$△ AOB≌△ DOC$（AAS）。
综上，全等的三角形共有3对。
【答案】
3；$△ ABC≌△ DCB$、$△ ACD≌△ DBA$、$△ AOB≌△ DOC$
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形判定的基础综合题，解题关键是先利用已知边和公共边证明大三角形全等，再借助全等得到的角相等推导小三角形全等，做题时要注意有序查找，避免漏数。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$\triangle ABC$中,$CD \perp AB$于点D,$EF \perp AC$交CD于点E,连接AE,若$ED= EF$,$\angle ECF = 58^\circ$,则$\angle DAE= ______.$
答案：16°
解析：
【分析】
解题时首先从已知条件入手：CD⊥AB、EF⊥AC说明ED、EF分别是点E到∠DAC两边AB、AC的距离，结合ED=EF，可根据角平分线的判定定理推出AE平分∠DAC；接下来在Rt△ADC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数，最后根据角平分线的定义即可算出∠DAE的度数。
【解析】
∵ CD⊥AB，EF⊥AC
∴ ∠ADE=∠AFE=90°，即ED是点E到AB的距离，EF是点E到AC的距离
又
∵ ED=EF
∴ AE平分∠DAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），即∠DAE=$\frac{1}{2}$∠DAC
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=∠ECF=58°
∴ ∠DAC=90°-∠ACD=90°-58°=32°
∴ ∠DAE=$\frac{1}{2}$×32°=16°
【答案】
16°
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定与直角三角形性质的综合基础题，解题的关键是准确识别角平分线判定的适用条件，再结合直角三角形的角度关系求解，是角平分线相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
