【分析】
解题时先根据题意明确等量关系：设这个数为a，则它的立方根∛a等于a本身。结合立方根与立方运算的互逆关系，可得a³=a，接下来分别从正数、负数、0三类数中寻找满足立方等于自身的数即可，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
设这个数为$ a $，根据题意可得：$\sqrt[3]{a}=a$。
根据立方根和立方是互逆运算，将等式两边同时立方，得：$a = a^3$。
接下来分别验证不同类型的数：
1. 当$ a=0 $时，$0^3=0$，满足$a^3=a$，故0符合要求；
2. 当$ a $为正数时，尝试正整数：$1^3=1$，满足要求；大于1的正数（如2：$2^3=8≠2$）均不满足，故正数中只有1符合；
3. 当$ a $为负数时，尝试负整数：$(-1)^3=-1$，满足要求；小于-1的负数（如-2：$(-2)^3=-8≠-2$）均不满足，故负数中只有-1符合。
综上，符合条件的数为0、1、-1。
【答案】
0 或 1 或-1
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 立方与立方根的互逆性
【点评】
本题是立方根相关的基础题型，重点考查对特殊数的立方根的掌握，解题时容易遗漏-1这个答案，需注意正数的立方根为正，负数的立方根为负，不要忽略负数的情况。
【难度系数】
0.7

【分析】
这道题需要先逐层化简每个内层的根式，再根据算术平方根、平方根、立方根的定义分别求解，解题时要注意区分三个概念的差异：算术平方根仅取非负值，平方根有正负两个互为相反数的值，立方根的符号和被开方数一致。具体步骤为：先计算每个待求式中内层的开方运算，得到最简数值后，再按照要求计算对应的开方结果。
【解析】
1. 计算$\sqrt[3]{8}$的算术平方根：
先化简内层：$\sqrt[3]{8}=2$，
再求2的算术平方根：正数的算术平方根为非负值，因此2的算术平方根是$\sqrt{2}$。
2. 计算$\sqrt[3]{64}$的平方根：
先化简内层：$\sqrt[3]{64}=4$，
再求4的平方根：正数有两个互为相反数的平方根，因此4的平方根是$\pm\sqrt{4}=\pm2$。
3. 计算$\sqrt{(-8)^2}$的立方根：
先化简内层：$(-8)^2=64$，$\sqrt{64}=8$，
再求8的立方根：$\sqrt[3]{8}=2$。
【答案】
$\sqrt{2}$；$\pm 2$；$2$
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题重点考查根式的化简运算以及三类开方运算的概念辨析，易错点是混淆平方根和算术平方根的取值范围，或是未先化简内层根式直接计算导致错误，解题时要注意按顺序逐层运算，明确所求开方类型的符号要求。
【难度系数】
0.7

【分析】
(1) 解题思路：绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此先求出a、b的值，再代入计算立方根即可。
(2) 解题思路：根据算术平方根的定义，算术平方根为2的数等于2的平方；根据立方根的定义，立方根为-2的数等于-2的立方，据此列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b后再计算a-b的立方根即可。
【解析】
(1) 解：
∵$|a-2|≥0$，$\sqrt{3-b}≥0$，且$|a-2|+\sqrt{3-b}=0$
∴根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}a-2=0 \\3-b=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\b=3\end{cases}$
代入得：$\sqrt[3]{a-b}=\sqrt[3]{2-3}=\sqrt[3]{-1}=-1$
(2) 解：
∵2a+b的算术平方根是2
∴$2a+b=2^2=4$ ①
∵a+3b的立方根是-2
∴$a+3b=(-2)^3=-8$ ②
联立①②，将①×3 - ②得：
$6a+3b - (a+3b)=12 - (-8)$
$5a=20$，解得$a=4$
把$a=4$代入①得：$2×4 + b=4$，解得$b=-4$
∴$a-b=4 - (-4)=8$
∴a-b的立方根为$\sqrt[3]{8}=2$
【答案】
(1)-1；(2)2
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 算术平方根的定义
3. 立方根的定义
【点评】
本题属于基础运算题，核心是结合非负数性质、算术平方根和立方根的定义建立方程（组）求解，计算量小，掌握相关核心概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先回忆立方根的核心性质：对任意实数a，$\sqrt[3]{a^3}=a$。第一步利用这个性质化简等式左侧的三次根式，得到关于k的一元一次方程，再通过移项、系数化为1等步骤解方程，即可求出k的值。
【解析】
根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得：
$\sqrt[3]{(4-k)^3}=4-k$
结合题目给出的等式$\sqrt[3]{(4-k)^3}= k-4$，可得：
$4 - k = k - 4$
移项得：$4 + 4 = k + k$
合并同类项得：$2k = 8$
系数化为1得：$k = 4$
【答案】
4
【知识点】
立方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题考查立方根性质的基础应用，只要牢记立方根的化简规则，就能快速建立方程求解，计算时注意移项要变号，即可避免失误。
【难度系数】
0.8

【分析】
这三道题均是利用立方根的定义求解含三次方的方程，解题思路如下：首先利用等式的性质，将方程整理为“某个含x的式子的三次方=常数”的形式，再根据立方根的定义，对等式两边同时开立方，转化为一元一次方程，最后求解得到x的值即可，计算时注意负数的立方根仍是负数，避免符号错误。
【解析】
(1) 移项得：$x^3=0.729$
根据立方根的定义，对两边同时开立方得：$x=\sqrt[3]{0.729}$
计算得：$x=0.9$
(2) 两边同时除以8得：$(x+1)^3=-8$
根据立方根的定义，对两边同时开立方得：$x+1=\sqrt[3]{-8}=-2$
移项计算得：$x=-2-1=-3$
(3) 移项得：$(x-1)^3=\frac{5}{8}-4$
计算右边常数项：$\frac{5}{8}-4=\frac{5}{8}-\frac{32}{8}=-\frac{27}{8}$
根据立方根的定义，对两边同时开立方得：$x-1=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$
移项计算得：$x=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$x=0.9$；(2)$x=-3$；(3)$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 立方根的定义；2. 开立方运算；3. 等式的性质
【点评】
本题属于立方根的基础应用题型，核心考查利用立方根求解简单一元三次方程的能力，解题的关键是先将方程转化为“整式三次方=常数”的标准形式，开立方时要注意正负号的判断，避免因符号问题出现计算错误。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时首先梳理题中的等量关系：原正方体的体积减去8个截去的小正方体的总体积，等于截去后余下的体积。第一步设每个小正方体的棱长为x cm，根据正方体体积公式（体积=棱长的立方），可得单个小正方体体积为x³ cm³，8个小正方体的总体积为8x³ cm³；第二步根据等量关系列出关于x的方程；第三步通过移项、开立方运算求解x，结合棱长为正数的实际意义，确定最终的解即可。
【解析】
解：设截得的每个小正方体的棱长是$x\ \mathrm{cm}$，
依题意得：
$1000-8x^3=488$
移项计算得：$8x^3=1000-488=512$
两边同时除以8得：$x^3=64$
对64开立方得：$x=4$
【答案】
截得的每个小正方体的棱长是4 cm
【知识点】
正方体体积计算、立方根运算、列方程解应用题
【点评】
本题是立方根的实际应用问题，解题关键是找准等量关系将实际问题转化为数学方程，再结合立方根的运算求解即可，解题时注意结合实际意义判断解的合理性。
【难度系数】
0.75

【分析】
(1) 验证结论的思路：先选取一对互为相反数的数作为两个数的立方根，分别计算对应两个数的值，再判断这两个数是否也互为相反数，若符合则结论成立。
(2) 求解求值问题的思路：先利用题干给出的“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”的结论，可得两个被开方数的和为0，据此列一元一次方程解出x的值，再代入$1-\sqrt{x}$计算即可，注意算术平方根的结果为非负数。
【解析】
(1) 举例如下：取互为相反数的两个数2和-2，分别作为8和-8的立方根，
$\because 2+(-2)=0$，$2^3=8$，$(-2)^3=-8$，$8+(-8)=0$，
$\therefore$ 8和-8也互为相反数，符合上述结论，故结论成立。（举例不唯一，合理即可）
(2) 根据(1)验证的结论可知：互为相反数的两个立方根，其被开方数也互为相反数，
$\therefore (1-2x)+(3x-5)=0$，
合并同类项得：$x-4=0$，
解得：$x=4$，
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$得：
$1-\sqrt{4}=1-2=-1$。
【答案】
(1) 示例：当2与-2互为相反数时，$2^3=8$，$(-2)^3=-8$，8与-8也互为相反数，结论成立（举例不唯一）；
(2) $-1$
【知识点】
立方根的性质；相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题结合新推导的立方根相关结论，考查阅读理解能力和知识迁移应用能力，先通过举例验证结论，再利用结论列方程求解，解题的关键是准确理解给出的结论并正确应用，同时注意算术平方根的非负性，考查形式灵活，难度适中。
【难度系数】
0.8