9. 有一个数值转换机,原理如图所示.
当输入的$x= 256$时,输出的$y= $______.
答案：$\sqrt{2}$
解析：
【分析】
首先读懂数值转换机的运算规则：输入x后，先计算x的算术平方根，若所得结果是无理数，直接输出该结果；若所得结果是有理数，就将这个结果作为新的输入值x，重复上述运算，直到得到的算术平方根为无理数为止。我们将x=256代入，按照规则逐步运算即可得到输出的y值。
【解析】
第1步：输入x=256，计算算术平方根：$\sqrt{256}=16$，16是有理数，不符合输出条件，将16作为新的输入值；
第2步：输入x=16，计算算术平方根：$\sqrt{16}=4$，4是有理数，不符合输出条件，将4作为新的输入值；
第3步：输入x=4，计算算术平方根：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，不符合输出条件，将2作为新的输入值；
第4步：输入x=2，计算算术平方根：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合输出条件，故$y=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根计算；无理数的识别；流程图运算
【点评】
本题将程序运算和实数的相关知识结合，解题核心是准确理解流程图的循环运算规则，不要仅进行一次运算就直接输出结果，同时要能准确区分有理数和无理数，正确计算算术平方根。
【难度系数】
0.7
10. (1)一个正方形的面积是29,通过估算,它的边长在整数n与$n+1$之间,求n的值;
(2)因为$\sqrt[3]{1}＜\sqrt[3]{3}＜\sqrt[3]{8}$,即$1＜\sqrt[3]{3}＜2$,所以$\sqrt[3]{3}$的整数部分为1,小数部分为$\sqrt[3]{3}-1$,类比以上推理,求$\sqrt[3]{30}$的小数部分.
答案：
(1)一个正方形的面积是29,它的边长为$\sqrt{29}$,$\because 5^{2}=25$,$6^{2}=36$,而$25＜29＜36$,$\therefore 5＜\sqrt{29}＜6$.$\because \sqrt{29}$在整数n与n+1之间,$\therefore n=5$.
(2)$\because 3^{3}=27$,$4^{3}=64$,$\therefore 3＜\sqrt[3]{30}＜4$,$\therefore \sqrt[3]{30}$的小数部分为$\sqrt[3]{30}-3$.
解析：
【分析】
(1) 首先根据正方形面积与边长的关系，可知边长是面积的算术平方根，即边长为$\sqrt{29}$。要确定$\sqrt{29}$在哪两个相邻整数之间，只需找到两个相邻整数，它们的平方分别小于和大于29，较小的整数就是所求的n。
(2) 类比题中给出的推理方法，先找到两个相邻整数，它们的立方分别小于和大于30，即可确定$\sqrt[3]{30}$的整数部分，小数部分等于原数减去整数部分。
【解析】
(1) 正方形的边长为面积的算术平方根，因此边长为$\sqrt{29}$。
$\because 5^{2}=25$，$6^{2}=36$，且$25＜29＜36$，
$\therefore 5＜\sqrt{29}＜6$，
又$\because \sqrt{29}$在整数$n$与$n+1$之间，
$\therefore n=5$。
(2) $\because 3^{3}=27$，$4^{3}=64$，且$27＜30＜64$，
$\therefore 3＜\sqrt[3]{30}＜4$，
因此$\sqrt[3]{30}$的整数部分为3，小数部分为$\sqrt[3]{30}-3$。
【答案】
(1) $n=5$；(2) $\sqrt[3]{30}-3$
【知识点】
无理数大小估算，算术平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题重点考查无理数的估算方法，熟练掌握常见整数的平方、立方是解题的基础，通过类比推理的思路可快速确定无理数的整数部分和小数部分，属于基础巩固类习题。
【难度系数】
0.8
11. 已知面积为$5\pi$的圆的半径为y,则数y是有理数吗? 若不是,试估计y的值.(精确到十分位)
答案：y不是有理数,$\because$由题意得$\pi y^{2}=5\pi$,$\therefore y^{2}=5$.$\because y＞0$,且找不到平方后得5的有理数,$\therefore y$是无理数.$\because 2.23^{2}=4.972 9$,$2.24^{2}=5.017 6$,$\therefore y\approx 2.2$
解析：
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据圆的面积公式列出关于半径y的方程，求出y²的值；第二步，结合有理数的定义（整数和分数统称为有理数），判断是否存在有理数的平方等于5，进而确定y是不是有理数；第三步，估算y的取值时，用逐步逼近的方法，先确定y的大致范围，再根据精确到十分位的要求结合四舍五入规则得到近似值。
【解析】
解：根据圆的面积公式，结合题意列等式：
$π y^2=5π$
两边同时除以$π$，可得$y^2=5$
$\because y$是圆的半径，$\therefore y＞0$
$\because$ 整数中$2^2=4$、$3^2=9$，没有整数的平方等于5；分数的平方仍为分数，也不可能等于整数5，即不存在平方后得5的有理数，因此y不是有理数，是无理数。
接下来估算y的取值：
$\because 2.23^2=4.9729$，$2.24^2=5.0176$
$\therefore 2.23＜y＜2.24$
精确到十分位时，y的百分位数字为3，小于5，需舍去，因此$y\approx 2.2$
【答案】
y不是有理数，$y\approx 2.2$
【知识点】
无理数的定义；圆的面积计算；无理数的估算
【点评】
本题结合几何面积公式考查了无理数的判定与估算，核心是先通过公式得到半径平方的取值，再结合有理数的分类判断数的类型，估算时采用逐步逼近的方法即可，需注意精确位数对应的四舍五入规则。
【难度系数】
0.8
12. 推理能力·运算能力 阅读理解:求$\sqrt{105}$的近似值.
小明的方法:设$\sqrt{105}= 10+x$,其中$0＜x＜1$,则$105= (10+x)^2$,即$105= 100+20x+x^2$.
$\because 0＜x＜1,\therefore 0＜x^2＜1,\therefore 105\approx100+20x$,解得$x\approx0.25$,即$\sqrt{105}$的近似值为10.25,
小莉的方法:设$\sqrt{105}= 11-y$,其中$0＜y＜1$,则$105= (11-y)^2$,即$105= 121-22y+y^2$.
$\because 0＜y＜1,\therefore 0＜y^2＜1,\therefore 105\approx121-22y$,解得$y\approx0.73$,即$\sqrt{105}$的近似值为10.27.
【反思比较】你认为______的方法更接近$\sqrt{105}$;(填“小明”或“小莉”)
【深入思考】x与y之间的数量关系为______.
答案：【反思比较】小明 解析:我认为小明的方法更接近$\sqrt{105}$.$\because$小明的方法:$\sqrt{105}$的近似值为10.25,$10.25^{2}=105.062 5$,小莉的方法:$\sqrt{105}$的近似值为10.27,$10.27^{2}=105.472 9$,$\therefore$小明的方法更接近$\sqrt{105}$. 【深入思考】$x+y=1$ 解析:$\because 10+x=11-y$,$\therefore x+y=1$
解析：
【分析】
解决第一问时，核心思路是通过计算两种方法得到的近似值的平方，与真实值105比较差值，差值越小说明近似结果越接近√105。解决第二问时，要抓住两个表达式的共同属性：二者均等于√105，因此可以建立等式，通过移项整理即可得到x和y的数量关系。
【解析】
反思比较
先计算小明得到的近似值的平方：$10.25^2=105.0625$，与105的差值为$105.0625-105=0.0625$；
再计算小莉得到的近似值的平方：$10.27^2=105.4729$，与105的差值为$105.4729-105=0.4729$；
因为$0.0625＜0.4729$，所以小明的方法得到的结果更接近$\sqrt{105}$。
深入思考
已知$\sqrt{105}=10+x$，同时$\sqrt{105}=11-y$，因此两个表达式相等，可得：
$10+x=11-y$
移项整理得：$x+y=11-10=1$
【答案】
小明；$x+y=1$
【知识点】
无理数的估算；完全平方公式；等式的性质
【点评】
本题结合阅读材料考查无理数估算的误差比较和等式变形，解题的关键是掌握误差比较的基本方法，同时能利用不同表达式的等量关系推导未知量的联系，能有效锻炼推理和运算能力。
【难度系数】
0.7
