4. 将下列各数填入相应的括号内.
$-3.14,\frac{11}{12},-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{16}}{3},0,\sqrt[3]{8},\pi,\sqrt[3]{-9},1.010010001…$(每相邻两个1之间依次多一个0).
有理数：…{$$}；
无理数：…{$$}；
负实数：…{$$}；
整数：…{$$}；
分数：…{$$}.
答案：有理数：$\left\{ -3.14,\frac{11}{12},-\frac{\sqrt{16}}{3},0,\sqrt[3]{8},\cdots \right\}$；
无理数：$\left\{ -\sqrt{2},\pi,\sqrt[3]{-9},1.010\ 010\ 001\cdots (每相邻两个1之间依次多一个0),\cdots \right\}$；
负实数：$\left\{ -3.14,-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{16}}{3},\sqrt[3]{-9},\cdots \right\}$；
整数：$\left\{ 0,\sqrt[3]{8},\cdots \right\}$；
分数：$\left\{ -3.14,\frac{11}{12},-\frac{\sqrt{16}}{3},\cdots \right\}$．
解析：
【分析】
解决本题需先化简题目中可化简的数，再结合各类数的定义逐一判断每个数的归属：①先化简：$-\frac{\sqrt{16}}{3}=-\frac{4}{3}$，$\sqrt[3]{8}=2$；②有理数是整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数；③无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数；④负实数是小于0的实数；⑤整数包含正整数、0、负整数；⑥分数包含正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都属于分数。
【解析】
第一步：先化简带根号的数：
$-\frac{\sqrt{16}}{3}=-\frac{4}{3}$，$\sqrt[3]{8}=2$
第二步：结合定义逐个分类：
有理数：整数和分数统称，满足要求的有$-3.14,\frac{11}{12},-\frac{\sqrt{16}}{3},0,\sqrt[3]{8}$；
无理数：无限不循环小数，满足要求的有$-\sqrt{2},π,\sqrt[3]{-9},1.010010001…$(每相邻两个1之间依次多一个0)；
负实数：小于0的实数，满足要求的有$-3.14,-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{16}}{3},\sqrt[3]{-9}$；
整数：包含正整数、0、负整数，满足要求的有$0,\sqrt[3]{8}$；
分数：包含正分数、负分数，满足要求的有$-3.14,\frac{11}{12},-\frac{\sqrt{16}}{3}$。
【答案】
有理数：$\{ -3.14,\frac{11}{12},-\frac{\sqrt{16}}{3},0,\sqrt[3]{8},··· \}$；
无理数：$\{ -\sqrt{2},π,\sqrt[3]{-9},1.010\ 010\ 001··· (每相邻两个1之间依次多一个0),··· \}$；
负实数：$\{ -3.14,-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{16}}{3},\sqrt[3]{-9},··· \}$；
整数：$\{ 0,\sqrt[3]{8},··· \}$；
分数：$\{ -3.14,\frac{11}{12},-\frac{\sqrt{16}}{3},··· \}$．
【知识点】
实数的分类；有理数的概念；无理数的概念
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题核心是先化简带根号的数，再结合定义判断，要注意不要误以为带根号的数都是无理数，只有开方开不尽的数才是无理数，同时要能区分无限循环小数和无限不循环小数。
【难度系数】
0.75
5. 在数轴上表示下列各数,并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来.
$(-\frac{1}{7})^0,-\sqrt[3]{27},|-1.5|,-\sqrt{2},\sqrt{8},\pi$
$\boxed{-4\quad -3\quad -2\quad -1\quad 0\quad 1\quad 2\quad 3\quad 4}$
答案：
$-\sqrt[3]{27}＜-\sqrt{2}＜\left( -\frac{1}{7} \right)^0＜|-1.5|＜\sqrt{8}＜\pi$ 解析：$\left( -\frac{1}{7} \right)^0=1$，$-\sqrt[3]{27}=-3$，$|-1.5|=1.5$，$\because 1＜\sqrt{2}＜2$，$\therefore -2＜-\sqrt{2}＜-1$，$2＜\sqrt{8}＜3$．
$\because -3＜-\sqrt{2}＜1＜1.5＜\sqrt{8}＜\pi$，这些数在数轴上表示如图：
$\left( -\frac{1}{7} \right)^0 |-1.5| \sqrt{8} -\sqrt[3]{27} -\sqrt{2} -4 -3 -2 -1$
$\therefore -\sqrt[3]{27}＜-\sqrt{2}＜\left( -\frac{1}{7} \right)^0＜|-1.5|＜\sqrt{8}＜\pi$．
解析：
【分析】
解题时首先要对题中给出的非最简实数进行化简，先算出零指数幂、立方根、绝对值的具体数值；再估算无理数的大致取值范围，确定各数在数轴上的对应位置；最后根据“数轴上右侧的数始终大于左侧的数”的规律，按从小到大的顺序将各数用“＜”连接即可。
【解析】
第一步：化简各数
1. 根据非零数的零次幂为1，得$(-\frac{1}{7})^0=1$；
2. 计算立方根：$\sqrt[3]{27}=3$，因此$-\sqrt[3]{27}=-3$；
3. 计算绝对值：$|-1.5|=1.5$；
第二步：估算无理数的范围
1. 因为$1＜\sqrt{2}＜2$，所以$-2＜-\sqrt{2}＜-1$；
2. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此$2＜\sqrt{8}＜3$；
3. $π\approx3.14$，因此$3＜π＜4$；
第三步：将所有数标注在数轴上，根据数轴上左边的数小于右边的数，即可得到大小顺序。
【答案】
$-\sqrt[3]{27}＜-\sqrt{2}＜( -\frac{1}{7} )^0＜|-1.5|＜\sqrt{8}＜π$
【知识点】
实数的运算，实数与数轴，实数大小比较
【点评】
本题是实数相关的基础题型，重点考察学生对实数化简、无理数估算的掌握程度，以及利用数轴比较实数大小的能力，掌握基础运算规则和数轴性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6. 下列结论中正确的是( )
①正实数和负实数统称实数;②正数、0和负数统称有理数;③任何一个无理数都能用数轴上的点表示;④实数与数轴上的点一一对应;⑤有理数有无限个,无理数有有限个.
A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④
答案：C
解析：
【分析】
本题考查实数相关的基础概念，解题时需逐个判断5个结论的正误，再匹配正确选项。首先回忆相关核心概念：实数的分类、有理数的定义、实数与数轴的对应关系、有理数和无理数的数量特点，再将每个结论和概念对照判断即可。
【解析】
我们逐一分析每个结论：
1. 结论①：实数包括正实数、0、负实数，该结论遗漏了0，因此①错误；
2. 结论②：有理数是整数和分数的统称，正数中包含正无理数（如√2），负数中包含负无理数（如-√2），因此正数、0、负数不能统称有理数，②错误；
3. 结论③：所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数属于实数，因此任何一个无理数都能用数轴上的点表示，③正确；
4. 结论④：实数与数轴上的点一一对应，这是实数的基本性质，④正确；
5. 结论⑤：有理数和无理数的个数都是无限的，因此⑤错误。
综上，正确的结论为③④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实数的分类；实数与数轴的对应关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握实数、有理数、无理数的分类标准，牢记实数与数轴的一一对应关系，避免混淆概念出现判断错误。
【难度系数】
0.8
