2025年经纶学典课时作业八年级数学上册苏科版第65页解析答案——零五网—

| 背景材料 | 背景1：魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术.为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.作圆内接正多边形,当正多边形的边数不断增加时,其周长就无限接近圆的周长,进而可用$\frac{正多边形的周长}{圆的直径}$来求得较为精确的圆周率.祖冲之在刘徽的基础上继续努力,当正多边形的边数增加到24576时,得到了精确到小数点后七位的圆周率,这一成就在当时领先其他国家一千多年. |
| | 背景2：祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家,他是第一个将圆周率$π$精确到小数点后第七位的人,他给出$π$的两个分数形式:$\frac{22}{7}$(约率)和$\frac{355}{113}$(密率).同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是设实数$x的不足近似值和过剩近似值分别为\frac{b}{a}和\frac{d}{c}$(即有$\frac{b}{a} ＜ x ＜ \frac{d}{c}$,其中$a,b,c,d$为正整数),则$\frac{b+d}{a+c}是x$的更为精确的近似值.例如:已知$\frac{157}{50} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$,则利用一次“调日法”后可得到$π的一个更为精确的近似分数为\frac{157+22}{50+7}= \frac{179}{57}$;由于$\frac{179}{57}≈3.1404 ＜ π$,再由$\frac{179}{57} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$,可以再次使用“调日法”得到$π$的更为精确的近似分数…… |
| 探究任务 | 任务1：如图,依据“割圆术”,由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是______. |

| | 任务2：已知$\frac{157}{50} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$,求第几次“调日法”后可得到$π的近似分数为\frac{355}{113}$. |

答案：
任务1　3解析:如图，连接OC,OD,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠COD=60°,又
∵OC=OD,
∴△COD是等边三角形,
∴OC=CD,正六边形的周长:圆的直径=6CD:2CD=3.
　　　　　　

任务2　已知$\frac{157}{50}＜\pi＜\frac{22}{7}$,则第一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}$;由于$\frac{179}{57}\approx3.1404＜\pi$,再由$\frac{179}{57}＜\pi＜\frac{22}{7}$,则第二次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{179+22}{57+7}=\frac{201}{64}$;由于$\frac{201}{64}=3.140625＜\pi$,再由$\frac{201}{64}＜\pi＜\frac{22}{7}$,则第三次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{201+22}{64+7}=\frac{223}{71}$;由于$\frac{223}{71}\approx3.1408＜\pi$,再由$\frac{223}{71}＜\pi＜\frac{22}{7}$,则第四次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{223+22}{71+7}=\frac{245}{78}$;同理，第五次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{267}{85}$;第六次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{289}{92}$;第七次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{311}{99}$;第八次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{333}{106}$;第九次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{355}{113}$.

解析：

【分析】
任务1解题思路
要通过圆内接正六边形得到圆周率近似值，根据材料可知该近似值为正六边形周长和圆直径的比值。首先连接圆心与正六边形相邻两个顶点得到中心角，正六边形中心角为$360°÷6=60°$，结合两条半径相等可判定得到的三角形为等边三角形，即正六边形边长等于圆的半径，再代入比值计算即可。
任务2解题思路
按照“调日法”的规则，每次运算将不足近似值的分子与过剩近似值的分子相加作为新分子，分母相加作为新分母，得到新的近似值后判断其和$π$的大小关系：若小于$π$则作为新的不足近似值，保留原过剩近似值继续运算；若大于$π$则作为新的过剩近似值，保留原不足近似值继续运算，直到得到$\frac{355}{113}$，统计运算次数即可。
【解析】
任务1
如图，连接OC、OD，

∵六边形ABCDEF是圆内接正六边形，
∴中心角$∠ COD=\frac{360°}{6}=60°$，
又
∵OC、OD都是圆O的半径，即$OC=OD$，
∴$△ COD$是等边三角形，
∴$CD=OC=r$（$r$为圆O的半径），
则正六边形的周长为$6CD=6r$，圆的直径为$2r$，
根据材料中圆周率的计算方法，近似值为$\frac{正六边形周长}{圆的直径}=\frac{6r}{2r}=3$。
任务2
已知初始范围$\frac{157}{50}＜π＜\frac{22}{7}$：
1. 第一次调日法：$\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}$，$\frac{179}{57}\approx3.1404＜π$，新范围为$\frac{179}{57}＜π＜\frac{22}{7}$；
2. 第二次调日法：$\frac{179+22}{57+7}=\frac{201}{64}$，$\frac{201}{64}=3.140625＜π$，新范围为$\frac{201}{64}＜π＜\frac{22}{7}$；
3. 第三次调日法：$\frac{201+22}{64+7}=\frac{223}{71}$，$\frac{223}{71}\approx3.1408＜π$，新范围为$\frac{223}{71}＜π＜\frac{22}{7}$；
4. 第四次调日法：$\frac{223+22}{71+7}=\frac{245}{78}$，$\frac{245}{78}\approx3.1410＜π$，新范围为$\frac{245}{78}＜π＜\frac{22}{7}$；
5. 第五次调日法：$\frac{245+22}{78+7}=\frac{267}{85}$，$\frac{267}{85}\approx3.1412＜π$，新范围为$\frac{267}{85}＜π＜\frac{22}{7}$；
6. 第六次调日法：$\frac{267+22}{85+7}=\frac{289}{92}$，$\frac{289}{92}\approx3.1413＜π$，新范围为$\frac{289}{92}＜π＜\frac{22}{7}$；
7. 第七次调日法：$\frac{289+22}{92+7}=\frac{311}{99}$，$\frac{311}{99}\approx3.1414＜π$，新范围为$\frac{311}{99}＜π＜\frac{22}{7}$；
8. 第八次调日法：$\frac{311+22}{99+7}=\frac{333}{106}$，$\frac{333}{106}\approx3.1415＜π$，新范围为$\frac{333}{106}＜π＜\frac{22}{7}$；
9. 第九次调日法：$\frac{333+22}{106+7}=\frac{355}{113}$，得到目标近似分数。
【答案】
任务1：3；任务2：第9次

【知识点】
正多边形与圆；等边三角形的判定与性质；新定义运算
【点评】
本题以我国古代数学成就“割圆术”“调日法”为背景，既考查了正多边形和圆相关的基础几何知识，又考查了对新定义运算规则的理解与应用能力，能让学生感受到我国古代数学家的智慧，同时锻炼细致运算的习惯。
【难度系数】
0.6