11. 「2025湖南张家界永定期中，★☆」在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(参考数据：$\sqrt{5} \approx 2.236$)(
B
)
A.0.73m
B.1.24m
C.1.37m
D.1.42m
答案：11. B 设雕像下部的高度为$x m$，则上部的高度为$(2 - x)m$，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比，
∴$\frac{2 - x}{x}=\frac{x}{2}$，解得$x = \sqrt{5} - 1$或$x = -\sqrt{5} - 1$（舍去），
∴$x = \sqrt{5} - 1≈1.24$。故选B。
12. 「2025安徽六安裕安期末，★☆」已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$，则$\frac{3a + 2b - c}{c - a}=$(
B
)
A.8
B.4
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{4}$
答案：12. B 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$，则$a = 2k$，$b = 3k$，$c = 4k$，
∴$\frac{3a + 2b - c}{c - a}=\frac{6k + 6k - 4k}{4k - 2k}=\frac{8k}{2k}=4$。故选B。
13. 「2025广东佛山南海期中，★☆」如图，连接正方形$ABCD$各边中点，得到一个新的正方形$EFGH$，则新正方形$EFGH$与原正方形$ABCD$的相似比为(
B
)
A.$1:2$
B.$1:\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}:1$
D.$1:4$
答案：13. B 设正方形$ABCD$的边长为$2a$，
∵$E$，$F$，$G$，$H$分别为正方形$ABCD$各边的中点，
∴$AE = AH = a$，
∵$∠A = 90°$，
∴$EH = \sqrt{AE² + AH²}=\sqrt{2}a$，
∴新正方形与原正方形的相似比$= EH:AB = \sqrt{2}a:2a = 1:\sqrt{2}$。故选B。
14. 「2025河南郑州金水月考改编，★☆」如图，若矩形$ABCD$与矩形$EFGH$相似，$AB = a$，$BC = b$，则$\frac{a}{b}=$
$1$
.
答案：14. 答案 $1$
解析 由题意得$EF = AB + 2 = a + 2$，$FG = BC + 2 = b + 2$，
∵矩形$ABCD$与矩形$EFGH$相似，
∴$AB:EF = BC:FG$，
∴$a:(a + 2) = b:(b + 2)$，
∴$2a = 2b$，
∴$\frac{a}{b}=1$。
15. 「2025四川成都简阳期中，★☆」如图，取一张长为$a$，宽为$b$的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则$a:b=$
$2:1$
.
答案：15. 答案 $2:1$
解析 由题意可知，对折两次后得到的小矩形纸片的长为$b$，宽为$\frac{1}{4}a$，
∵小矩形纸片与原矩形纸片相似，
∴$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{1}{4}a}$，又
∵$a＞0$，$b＞0$，
∴$\frac{a}{b}=2$，即$a:b = 2:1$。
16. 新课标推理能力四边形$ABCD$是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠，使$DA$边落在$DC$边上，点$A$落在点$H$处，折痕为$DE$；使$CB$边落在$CD$边上，点$B$落在点$G$处，折痕为$CF$.若矩形$HEFG$与原矩形$ABCD$相似，$AD = 1$，则$CD$的长为(
C
)
A.$\sqrt{2}-1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{5}+1$
答案：16. C 设$HG = x$，
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠A = ∠ADH = 90°$，$AD = BC = 1$。由折叠得$GC = BC = 1$，$∠A = ∠DHE = 90°$，$AD = DH = 1$，
∴四边形$ADHE$是正方形，
∴$AD = HE = 1$。
∵矩形$HEFG$与原矩形$ABCD$相似，
∴$\frac{GH}{AD}=\frac{HE}{DC}$，
∴$\frac{x}{1}=\frac{1}{1 + x + 1}$，解得$x = \sqrt{2} - 1$或$x = -\sqrt{2} - 1$（舍去），
∴$DC = 2 + x = \sqrt{2} + 1$。故选C。
17. 新课标几何直观「2025四川
宜宾兴文期中」如图，小福在矩形$ABCD$中分割出正方形$ABEF$，然后在矩形$FECD$的一组对边$EF$，$CD$上分别取中点$M$，$N$，分割出矩形$FMND$和矩形$MECN$，最后把矩形$FMND$对半分割成矩形$FMHG$和矩形$GHND$.若矩形$GHND$与矩形$ABCD$相似，则矩形$ABCD$的宽与长的比$\frac{AB}{AD}$的值为(
D
)
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
答案：17. D 由题意，得$AB = EF = CD$，$FG = DG$，$DN = CN$。设$FG = DG = a$，$DN = CN = b$，则$FD = 2a$，$AB = EF = CD = 2b$，
∵四边形$ABEF$是正方形，
∴$AF = AB = 2b$，
∴$AD = 2a + 2b$。
∵矩形$GHND$与矩形$ABCD$相似，
∴$\frac{DG}{AB}=\frac{DN}{AD}$，
∴$\frac{a}{2b}=\frac{b}{2a + 2b}$，
∴$a² + ab - b² = 0$，等号左右两边都除以$b²$，得$(\frac{a}{b})² + \frac{a}{b} - 1 = 0$，
∴$\frac{a}{b}=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$或$\frac{a}{b}=\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$（舍去），
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{2b}{2a + 2b}=2×\frac{b}{2a + 2b}=2×\frac{a}{2b}=\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。故选D。
