11.如图,在 $ △ ABC $ 中,$ AC = BC = 16 $,点 $ D $ 在 $ AB $ 上,点 $ E $ 在 $ BC $ 上,点 $ B $ 关于直线 $ DE $ 的对称点为点 $ B' $,连接 $ DB',EB' $,分别与 $ AC $ 相交于点 $ F,G $,若 $ AF = 8,DF = 7,B'F = 4 $,则 $ CG $ 的长度为
9/2
.
答案：11.答案 9/2
解析 由题意知△BDE与△B'DE关于直线DE对称,
∴∠B=∠B'.
∵AC=BC,
∴∠A=∠B,
∴∠A=∠B',又
∵∠AFD=∠B'FG,
∴△ADF∽△B'GF,
∴AF/B'F=DF/GF.
∵AF=8,DF=7,B'F=4,
∴8/4=7/GF,
∴GF=7/2,
∴CG=AC - AF - GF=16 - 8 - 7/2=9/2.
三、解答题(共 42 分)
12.「2025 安徽合肥庐阳三模」(8 分)如图,在平面直角坐标系中,$ △ ABC $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(4,3),B(1,2),C(3,1) $.
(1)以 $ O $ 点为旋转中心,将 $ △ ABC $ 逆时针旋转 $ 90° $ 得到 $ △ A_1B_1C_1 $,请在图中画出 $ △ A_1B_1C_1 $.
(2)以 $ O $ 点为位似中心,在第三象限内画出 $ △ ABC $ 的位似图形 $ △ A_2B_2C_2 $,使得 $ △ ABC $ 与 $ △ A_2B_2C_2 $ 的相似比为 $ 1:2 $.
答案：12.解析 (1)如图,△A₁B₁C₁为所作.
(2)如图,△A₂B₂C₂为所作.
13.「2024 江苏盐城中考」(10 分)如图,点 $ C $ 在以 $ AB $ 为直径的 $ \odot O $ 上,过点 $ C $ 作 $ \odot O $ 的切线 $ l $,过点 $ A $ 作 $ AD ⊥ l $,垂足为 $ D $,连接 $ AC,BC $.
(1)求证: $ △ ABC ∽ △ ACD $.
(2)若 $ AC = 5,CD = 4 $,求 $ \odot O $ 的半径.
答案：13.解析 (1)证明:如图,连接OC,
∵l是⊙O的切线,
∴OC⊥l,
∵AD⊥l,
∴∠ADC=90°,OC//AD,
∴∠CAD=∠ACO,
∵AO=CO,
∴∠ACO=∠CAB,
∴∠CAD=∠CAB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°=∠ADC,
∴△ABC∽△ACD.
(2)
∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°,
∴AD=√(AC² - CD²)=3,
∵△ABC∽△ACD,
∴AB/AC=AC/AD,
∴AB/5=5/3,
∴AB=25/3,
∴⊙O的半径为25/6.
14.「2025 河南郑州模拟」(10 分)某校同学参与"项目式学习"综合实践活动,小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆 $ EF $ 的高度.他在距离旗杆 $ 40 $ 米的 $ D $ 处立下一根 $ 3 $ 米高的竖直标杆 $ CD $,然后调整自己的位置,当他与标杆的距离 $ BD $ 为 $ 4 $ 米时,他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶端位于同一直线上.若小明的眼睛离地面的高度 $ AB $ 为 $ 1.6 $ 米,求旗杆 $ EF $ 的高度.
答案：14.解析 过点A作AN⊥EF于点N,交CD于M,如图.
由题意得AM=BD=4米,NM=FD=40米,NF=DM=AB=1.6米,
∴CM=3 - 1.6=1.4(米),
∵CM//EN,
∴△ACM∽△AEN,
∴AM/AN=CM/EN,
∴4/(40 + 4)=1.4/EN,解得EN=15.4米,
∴EF=15.4 + 1.6=17(米).答:旗杆EF的高度为17米.
15.「2025 浙江温州模拟」(14 分)如图,$ △ ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $ 为 $ BC $ 上一点,构造菱形 $ ADEF $,点 $ E $ 在线段 $ CD $ 上.$ G $ 为 $ AD $ 上一点,$ AG = BD $,连接 $ FG $ 交 $ AC $ 于点 $ H $.
(1)求证: $ ∠ AGF = ∠ C $.
(2)当 $ G $ 为 $ AD $ 的中点,$ AH = 2,AC = 8 $ 时,求 $ BE $ 的长.
(3)若 $ ∠ AHG = 60° $,求证: $ AG = CE $.
答案：15.解析 (1)证明:
∵四边形ADEF是菱形,
∴AD=AF,AF//DE,
∴∠ADB=∠GAF.又
∵AG=BD,
∴△ABD≌△FGA(SAS),
∴∠AGF=∠B,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠AGF=∠C.
(2)
∵∠AGF=∠C,∠GAH=∠CAD,
∴△GAH∽△CAD,
∴AH/AD=AG/AC.
∵G为AD的中点,
∴AD=2AG,又
∵AH=2,AC=8,
∴AD·AG=AH·AC=2AG²=2×8=16,
∴AG=2√2.
∴BD=AG=2√2,DE=AD=2AG=4√2,
∴BE=BD + DE=6√2.
(3)证明:
∵△GAH∽△CAD,
∴∠ADE=∠AHG=60°,如图,作AM⊥BC于点M,连接AE,
∵四边形ADEF是菱形,
∴AD=DE,又
∵∠ADE=60°,
∴△ADE为等边三角形,
∴AD=AE,
∴DM=EM,
∵AB=AC,
∴BM=CM,
∴BM - DM=CM - EM,即BD=CE,
∴AG=CE.
