1. 「2025广西中考」在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AB = 7 $，$ AC = 3 $，则 $ \sin B = $(
B
)
A.$ \dfrac{7}{10} $
B.$ \dfrac{3}{7} $
C.$ \dfrac{3}{10} $
D.$ \dfrac{1}{7} $
答案：1.B
∵∠C=90°，
∴sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{7}$。故选B。
2. 「2025上海崇明期末」在锐角 $ △ ABC $ 中，如果各边长都缩小为原来的 $ \dfrac{1}{2} $，那么 $ ∠ A $ 的正弦值(
C
)
A.扩大为原来的 $ 2 $ 倍
B.缩小为原来的 $ \dfrac{1}{2} $
C.不变
D.不能确定
答案：2.C 在锐角△ABC中，如果各边长都缩小为原来的$\frac{1}{2}$，那么每个内角的度数都不变，则∠A的正弦值不变。故选C。
3. 「2025江苏南京联合体开学测试」如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $。若 $ AC = 3 $，$ BC = 4 $，则 $ \sin ∠ ACD $ 的值为(
B
)
A.$ \dfrac{3}{4} $
B.$ \dfrac{3}{5} $
C.$ \dfrac{4}{5} $
D.$ \dfrac{5}{3} $
答案：3.B 在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=5，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠B=∠ACD=90°−∠BCD，
∴sin∠ACD=sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$。故选B。
4. 如图，将 $ ∠ BAC $ 放置在 $ 4 × 4 $ 的正方形网格中，顶点 $ A $ 在格点上，则 $ \sin ∠ BAC $ 的值为
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。
答案：4.答案 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析 如图，连接BC，设网格中小正方形的边长为1，则AB=BC=$\sqrt{10}$，AC=2$\sqrt{5}$，
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
5. 「2025湖南常德桃源期中」如图，$ ∠ ACB = 90° $，$ AB = 13 $，$ AC = 12 $，$ ∠ BCM = ∠ BAC $。
(1) 求 $ \sin ∠ BAC $ 的值。
(2) 求点 $ B $ 到直线 $ MC $ 的距离。
]
答案：5.解析 (1)在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$=$\sqrt{13^{2}-12^{2}}$=5，
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{5}{13}$。
(2)如图，过点B作BE⊥MC，垂足为E，
∵sin∠BCE=$\frac{BE}{BC}$，
∴BE=BC·sin∠BCE，
∵∠BCE=∠BAC，
∴BE=5×$\frac{5}{13}$=$\frac{25}{13}$。
6. 学科等角转「2025山西长治三模，★☆」如图，四边 形 $ ABCD $ 是 $ \odot O $ 的内接四边形，$ ∠ ABC = 90° $，$ AB = 4 $，$ BC = 3 $，则 $ \sin ∠ BDC = $(
D
)
A.$ \dfrac{3}{4} $
B.$ \dfrac{4}{5} $
C.$ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ \dfrac{3}{5} $
答案：6.D 如图，连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC为⊙O的直径，且AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$=$\sqrt{4^{2}+3^{2}}$=5，
∵∠BDC与∠BAC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴∠BDC=∠BAC，
∴sin∠BDC=sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{5}$。故选D。
方法解读 等角转化法：在解与锐角三角函数有关的问题时，可通过“平行线等角转换”“等腰三角形等角转换”“全等三角形等角转换”“相似三角形等角转换”“平行四边形等角转换”“同弧所对的圆周角等角转换”等，将已知或所求角的锐角三角函数转化为其等角的锐角三角函数。
7. 学科设参法「2025上海黄浦期中，★☆」已知在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，如果 $ ∠ A $ 的正弦值为 $ \dfrac{2}{5} $，那么 $ ∠ B $ 的正弦值为
$\frac{\sqrt{21}}{5}$
。
答案：7.答案 $\frac{\sqrt{21}}{5}$
解析
∵∠C=90°，∠A的正弦值是$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{2}{5}$，
∴设BC=2k，则AB=5k，
∴由勾股定理得AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$=$\sqrt{21}$k，
∴sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{21}k}{5k}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}$。
8. 学科多解法「2025江苏苏州工业园区月考，★☆」如图，网格中小正方形的边长均为 $ 1 $，点 $ A $，$ B $，$ O $ 都在格点上，则 $ ∠ AOB $ 的正弦值是
$\frac{\sqrt{10}}{10}$
。
答案：8.答案 $\frac{\sqrt{10}}{10}$
解析 [解法一]如图，作BD⊥AO于D，取格点C，连接OC，BC，则OC⊥AC。由题意可知AB=2，AO=$\sqrt{4^{2}+2^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BO=$\sqrt{2^{2}+2^{2}}$=2$\sqrt{2}$，OC=2，
∵S△ABO=$\frac{1}{2}$AB·OC=$\frac{1}{2}$AO·BD，即$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$·BD，
∴BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠AOB=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$。
[解法二]如图，延长OB至格点E，连接AE，由格点可知∠AEB=90°，
∴sin∠AOB=$\frac{AE}{AO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$。
