8. 「2025 山东淄博高青期末」 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $DC$ 上，$DE:EC = 3:1$，连接 $AE$ 交 $BD$ 于点 $F$，则 $△ DAF$ 与四边形 $BCEF$ 的面积之比为(
C
)
A.$3:4$
B.$9:16$
C.$12:19$
D.$9:28$
答案：8. C $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB// CD$，$CD = AB$，$\therefore ∠ FAB=∠ DEF$，$∠ ABF=∠ EDF$，$\therefore △ ABF∽△ EDF$，$\therefore \frac{DF}{BF}=\frac{DE}{AB}$，$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}}=(\frac{DE}{AB})^{2}$，$\because \frac{DE}{EC}=\frac{3}{1}$，$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{DE}{CD}=\frac{3}{4}$，$\therefore \frac{S_{△ ADF}}{S_{△ ABF}}=\frac{DF}{BF}=\frac{3}{4}$，$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}}=\frac{9}{16}$，设$S_{△ ABF}=16k$，$\therefore S_{△ DEF}=9k$，$S_{△ ADF}=12k$，$\therefore S_{△ BCD}=S_{△ ABD}=S_{△ ABF}+S_{△ ADF}=12k + 16k = 28k$，$\therefore S_{四边形BCEF}=28k - 9k = 19k$，$\therefore △ DAF$与四边形$BCEF$的面积之比为$12:19$.故选C.
9. 「2025 广东揭阳月考」 如图，矩形 $OABC$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \dfrac{k}{x}(x ＜ 0)$ 的图象上，顶点 $B$，$C$ 在第一象限，对角线 $AC// x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $D$. 若矩形 $OABC$ 的面积是 $10$，$\cos∠ OAC = \dfrac{3}{5}$，则 $k$ 的值为(
C
)
A.$-\dfrac{9}{4}$
B.$-2$
C.$-\dfrac{18}{5}$
D.$-4$
答案：9. C $\because$四边形$OABC$为矩形，$\therefore ∠ AOC = 90°$，$\because AC// x$轴，$\therefore AC⊥ y$轴，即$∠ ADO = 90°$，设$AD = 3x$，$\because$在$Rt△ ADO$中，$\cos∠ OAC=\frac{AD}{AO}=\frac{3}{5}$，$\therefore AO = 5x$，$\therefore OD=\sqrt{AO^{2}-AD^{2}} = 4x$，$\therefore A(-3x,4x)$，$\because$在$Rt△ AOC$中，$\cos∠ OAC=\frac{AO}{AC}=\frac{3}{5}$，$\therefore AC=\frac{25}{3}x$，$\therefore OC=\sqrt{AC^{2}-AO^{2}}=\frac{20}{3}x$，$\because$矩形$OABC$的面积是$10$，$\therefore 5x×\frac{20}{3}x = 10$，$\therefore x^{2}=\frac{3}{10}$，$\because A(-3x,4x)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜ 0)$的图象上，$\therefore k = -3x× 4x = -12x^{2}=-\frac{18}{5}$.故选C.
10. 如图，已知在矩形 $ABCD$ 中，$M$ 是 $AD$ 边的中点，$BM$ 与 $AC$ 垂直，交直线 $AC$ 于点 $N$，连接 $DN$，则下列四个结论：① $CN = 2AN$；② $DN = DC$；③ $\tan∠ CAD = \sqrt{2}$；④ $△ AMN∽△ CAB$. 其中，正确的为(
C
)
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
答案：10. C $\because$矩形$ABCD$中，$AD// BC$，$\therefore △ AMN∽△ CBN$，$\therefore \frac{AM}{BC}=\frac{AN}{CN}$，$\because M$是$AD$边的中点，$\therefore AM = MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，$\therefore \frac{AM}{BC}=\frac{AN}{CN}=\frac{1}{2}$，$\therefore CN = 2AN$，故①正确；如图，过$D$作$DH// BM$交$BC$于$H$，连接$NH$，$\because DH// BM$，$BM⊥ AC$，$\therefore DH⊥ AC$，$\because DH// BM$，$AD// BC$，$\therefore$四边形$BMDH$是平行四边形，$\therefore BH = MD=\frac{1}{2}BC$，$\therefore BH = CH$，$\because ∠ BNC = 90°$，$\therefore NH = HC$，$\therefore DH$是$NC$的垂直平分线，$\therefore DN = DC$，故②正确；$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AD// BC$，$∠ ABC = 90°$，$\therefore ∠ DAC=∠ ACB$，$∠ ABC=∠ ANM = 90°$，$\therefore △ AMN∽△ CAB$，故④正确；$\because ∠ DAC=∠ BCA$，$∠ BAC+∠ ACB = 90°$，$∠ DAC+∠ AMB = 90°$，$\therefore ∠ BAC=∠ AMB$，$\because ∠ ABC=∠ BAM = 90°$，$\therefore △ ABM∽△ BCA$，$\therefore \frac{AM}{AB}=\frac{AB}{BC}$，$\therefore AB^{2}=\frac{1}{2}BC^{2}$，$\therefore AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$，$\because \tan∠ DAC=\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，$\therefore \tan∠ DAC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故③错误.故选C.
11. 「2025 内蒙古包头青山月考」 一个四边形 $ABCD$ 的各边长为 $2$，$3$，$4$，$5$，另一个和它相似的四边形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的最长边的长为 $15$，则四边形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的最短边的长为
6
.
答案：11. 答案 $6$ 解析 $\because$一个四边形$ABCD$的各边长为$2$，$3$，$4$，$5$，$\therefore$四边形$ABCD$的最长边的长为$5$，$\because$另一个和它相似的四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的最长边的长为$15$，$\therefore$相似比为$\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$，$\therefore$四边形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的最短边的长为$2× 3 = 6$.
12. 阅读下面的材料，$\sin 30°=\dfrac{1}{2}$，$\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\sin^{2}30°+\cos^{2}30°=1$，$\sin 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则 $\sin^{2}45°+\cos^{2}45°=1$，已知 $∠ A$ 为锐角 $(\cos A ＞ 0)$ 且 $\sin A = \dfrac{3}{5}$，则 $\cos A =$
$\frac{4}{5}$
.
答案：12. 答案 $\frac{4}{5}$ 解析 由题意得$\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1$，$\because \sin A=\frac{3}{5}$，$∠ A$为锐角，$\cos A＞ 0$，$\therefore \cos A=\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}$.
13. 「2025 浙江湖州长兴一模」 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A(2,4)$，$B(3,2)$，以原点 $O$ 为位似中心，作 $△ OAB$ 的位似图形 $△ OA'B'$，并把 $△ OAB$ 的边长缩小到原来的 $\dfrac{1}{2}$，则点 $A$ 的对应点 $A'$ 的坐标是
(1,2)或(-1,-2)
.
答案：13. 答案 $(1,2)$或$(-1,-2)$ 解析 $\because$以坐标原点$O$为位似中心，作与$△ OAB$的相似比为$\frac{1}{2}$的位似图形$△ OA'B'$，$A(2,4)$，$\therefore$点$A$的对应点$A'$的坐标是$(2×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})$或$(2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))$，即$(1,2)$或$(-1,-2)$.
14. 「2024 浙江宁波一模」 一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为 $24 + 8\sqrt{3}$，则 $a$ 的值是
2
.
答案：14. 答案 $2$ 解析 由左视图知底面正三角形的高为$2\sqrt{3}$，可得底面正三角形的边长为$4$，$\therefore$底面正三角形的面积为$\frac{1}{2}× 4× 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$\because$这个正三棱柱的表面积为$24 + 8\sqrt{3}$，$\therefore 3× 4a + 2× 4\sqrt{3}=24 + 8\sqrt{3}$，$\therefore a = 2$.
15. 跨历史古代文化 「2024 湖南中考」 如图，左图为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，右图为其平面示意图. 已知 $AB⊥ CD$ 于点 $B$，$AB$ 与水平线 $l$ 相交于点 $O$，$OE⊥ l$. 若 $BC = 4$ 分米，$OB = 12$ 分米，$∠ BOE = 60°$，则点 $C$ 到水平线 $l$ 的距离 $CF$ 为
$(6 - 2\sqrt{3})$
分米(结果用含根号的式子表示).
答案：15. 答案 $(6 - 2\sqrt{3})$ 解析 如图，延长$DC$交$l$于点$H$，连接$OC$，在$Rt△ OBH$中，$∠ BOH = 90°-60°=30°$，$OB = 12$分米，$\therefore BH = 12×\tan 30°=4\sqrt{3}$（分米），$OH = 8\sqrt{3}$分米，$\because S_{△ OBH}=S_{△ OCH}+S_{△ OBC}$，$\therefore \frac{1}{2}OB· BH=\frac{1}{2}OH· CF+\frac{1}{2}OB· BC$，即$\frac{1}{2}× 12× 4\sqrt{3}=\frac{1}{2}× 8\sqrt{3}× CF+\frac{1}{2}× 12× 4$，$\therefore CF=(6 - 2\sqrt{3})$分米.
