16. 「2024 四川广元旺苍三模」 如图，一次函数 $y_{1} = ax + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \dfrac{4}{x}$ 的图象交于 $A$，$B$ 两点，点 $A$ 的横坐标为 $2$，点 $B$ 的纵坐标为 $1$，在反比例函数 $y_{2} = \dfrac{4}{x}$ 位于第三象限的图象上存在一点 $P$，要使点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离最短，则点 $P$ 的坐标为
$(-2\sqrt{2},-\sqrt{2})$
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答案：16. 答案 $(-2\sqrt{2},-\sqrt{2})$ 解析 $\because$点$A$，$B$在反比例函数$y_{2}=\frac{4}{x}$的图象上，且点$A$的横坐标为$2$，点$B$的纵坐标为$1$，$\therefore A(2,2)$，$B(4,1)$.$\because A(2,2)$，$B(4,1)$在一次函数$y_{1}=ax + b$的图象上，$\therefore \begin{cases}2a + b = 2,\\4a + b = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2},\\b = 3,\end{cases}$$\therefore$直线$AB$的解析式为$y_{1}=-\frac{1}{2}x + 3$.设直线$AB$向下平移$m$个单位时，其与反比例函数在第三象限内的图象只有一个交点，交点为点$P$，此时点$P$到直线$AB$的距离最短，令$-\frac{1}{2}x + 3 - m=\frac{4}{x}$，整理得$x^{2}-2(3 - m)x + 8 = 0$，令$\Delta = 4(3 - m)^{2}-32 = 0$，解得$m = 3 + 2\sqrt{2}$或$m = 3 - 2\sqrt{2}$（舍去），此时$x^{2}-2(3 - m)x + 8 = 0$整理为$x^{2}+4\sqrt{2}x + 8 = 0$，解得$x_{1}=x_{2}=-2\sqrt{2}$，$\therefore$满足条件的点$P$的坐标为$(-2\sqrt{2},-\sqrt{2})$.
三、解答题（共 66 分）（答案含评分细则）
17. （6 分）计算：
（1）「2025 青海中考」 $\sqrt{12}+(1 - \sqrt{2})^{0}+\vert - \sqrt{3}\vert - 2\sin 30°$.
（2）「2025 四川凉山州中考」 $(π - 3.14)^{0}-\vert 1 - \sqrt{3}\vert + \tan 60°+(-\dfrac{1}{3})^{-1}$.
答案：17. 解析 （1）原式$=2\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-2×\frac{1}{2}=2\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=3\sqrt{3}$.（3分）（2）原式$=1 - (\sqrt{3}-1)+\sqrt{3}-3=1 - \sqrt{3}+1+\sqrt{3}-3=-1$.（6分）
18. 「2025 宁夏银川灵武一模」(6 分) 图 1 是四张除了正面图案不同外，其他都相同的卡片.
(1)卡片 B 中图形的俯视图的形状为
圆
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(2)卡片 D 中图形的主视图如图 2 所示，求该圆柱的侧面积(结果保留 $π$).
(3)将这四张卡片背面朝上混匀，从中随机抽出一张后放回，混匀后再随机抽出一张，求两次抽出的卡片中，主视图都是矩形的概率.
答案：18. 解析 （1）圆.（2分）（2）根据题意可知，圆柱的侧面积为$8×π× 10 = 80π$.（4分）（3）卡片$A$，$D$中的图形的主视图为矩形.列表如下：
共有$16$种等可能情况，其中符合条件的有$(A,A)$，$(A,D)$，$(D,A)$，$(D,D)$，共$4$种，$\therefore$两次抽出的卡片中，主视图都是矩形的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.（6分）
19. 新考向尺规作图 「2025 安徽合肥庐阳模拟」（8 分） 如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 $10× 10$ 网格中，已知点 $O$，$A$，$B$ 均为网格线的交点.
（1）在给定的网格中，以点 $O$ 为位似中心，将线段 $AB$ 放大为原来的 2 倍，得到线段 $A_{1}B_{1}$（点 $A$，$B$ 的对应点分别为 $A_{1}$，$B_{1}$），画出线段 $A_{1}B_{1}$.
（2）将线段 $A_{1}B_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 逆时针旋转 $90°$ 得到线段 $A_{2}B_{1}$，画出线段 $A_{2}B_{1}$.
（3）连接 $OB_{1}$，在 $OB_{1}$ 上作一点 $Q$，使得 $QA_{1} = QB_{1}$.（利用无刻度直尺在网格中作图）
答案：19. 解析 （1）如图，线段$A_{1}B_{1}$即为所求.（3分）（2）如图，线段$A_{2}B_{1}$即为所求.（6分）（3）如图，作线段$A_{1}B_{1}$的垂直平分线，交$OB_{1}$于点$Q$，则点$Q$即为所求.（8分）
