2026年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版第74页解析答案——零五网—

20. 「2025 江苏镇江一模」（8 分）体育馆看台的侧面如图中阴影部分所示，看台由高度相等的 3 级小台阶和一段坡度 $i = 1:4$ 的斜坡组成，$DH$ 垂直于地面，$BH = 1\mathrm{m}$，每级小台阶的高度都为 $0.5\mathrm{m}$. 为了安全，现要加装不锈钢扶手. 已知不锈钢扶手支撑部分 $AB$，$CD$，$EF$ 均与地面垂直且长度都为 $1\mathrm{m}$，$∠ CEF = 53°$（不锈钢扶手焊接处忽略不计）.
（1）求看台最高处台阶的高度（即点 $F$ 到地面的距离）.
（2）求所用不锈钢材料（含扶手和支撑部分）的总长度（结果精确到 $1\mathrm{m}$，参考数据：$\sin 53°\approx 0.8$，$\cos 53°\approx 0.6$，$\sqrt{17}\approx 4.1$）.

答案：
20. 解析（1）在$Rt△ BDH$中，$\because BH = 1m$，$i=\tan∠ DBH=\frac{DH}{BH}=\frac{1}{4}$，$\therefore DH = 0.25m$.（2分）$\because$每级小台阶的高度都为$0.5m$，$\therefore$点$F$到地面的距离$=0.5× 3 + 0.25 = 1.75(m)$.（4分）（2）如图，延长$EM$交$BH$于$N$，过$C$作$CM⊥ EN$于$M$，

则$MN = CH = 1 + 0.25 = 1.25(m)$，$\because EN = EF + FN = 1 + 1.75 = 2.75(m)$，$\therefore EM = 2.75 - 1.25 = 1.5(m)$，$\because \cos∠ CEF=\frac{EM}{CE}=\cos 53°$，$\therefore CE=\frac{EM}{\cos 53°}\approx\frac{1.5}{0.6}=2.5(m)$.（6分）$\because AB// CD$，$AB = CD = 1m$，$\therefore$四边形$ABDC$是平行四边形，$\therefore AC = BD$.$\because BD=\sqrt{DH^{2}+BH^{2}}=\frac{\sqrt{17}}{4}m$，$\therefore AC = BD=\frac{\sqrt{17}}{4}m$，（7分）$\therefore$所用不锈钢材料的总长度$=AB + CD + EF + AC + CE=1 + 1 + 1+\frac{\sqrt{17}}{4}+2.5\approx 7(m)$.（8分）

21. 「2025 山东聊城三模」（8 分）如图 1，点 $A$，$B$ 在 $x$ 轴上，以 $AB$ 为边的正方形 $ABCD$ 在 $x$ 轴上方，点 $C$ 的坐标为 $(1,4)$，反比例函数 $y = \dfrac{k}{x}(k≠ 0,x ＜ 0)$ 的图象经过 $CD$ 的中点 $E$，$F$ 是 $AD$ 上的一个动点，将 $△ DEF$ 沿 $EF$ 所在直线折叠得到 $△ GEF$.
（1）求反比例函数 $y = \dfrac{k}{x}(k≠ 0)$ 的表达式.
（2）如图 2，若点 $G$ 落在 $y$ 轴上，过点 $F$ 作 $FN⊥ y$ 轴于点 $N$，求线段 $GN$ 的长.

答案：
21. 解析（1）$\because C(1,4)$，四边形$ABCD$是正方形，$\therefore CD// x$轴，正方形$ABCD$的边长为$4$，$\because$点$E$为$CD$的中点，$\therefore CE=\frac{1}{2}CD = 2$，$\therefore E(-1,4)$，（2分）$\because y=\frac{k}{x}(k≠ 0)$的图象经过点$E$，$\therefore k = -1× 4 = -4$，$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{4}{x}$.（4分）（2）如图$DC$与$y$轴交于点$M$，

由折叠可知，$DE = EG = 2$，$∠ FGE=∠ D = 90°$，在$Rt△ GME$中，$∠ GME = 90°$，$\because E(-1,4)$，$M(0,4)$，$\therefore ME = 1$，$\therefore MG=\sqrt{EG^{2}-ME^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$.$\therefore OG = OM - MG = 4 - \sqrt{3}$.（6分）$\because ∠ FNG=∠ FGE=∠ GME = 90°$，$\therefore ∠ FGN+∠ EGM = 90°$，$∠ FGN+∠ GFN = 90°$，$\therefore ∠ EGM=∠ GFN$，$\therefore △ EGM∽△ GFN$，（7分）$\therefore \frac{EM}{GN}=\frac{MG}{FN}$，$\therefore \frac{1}{GN}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore GN=\sqrt{3}$.（8分）

22. 「2025 山东烟台中考」（8 分）如图，$△ ABC$ 内接于 $\odot O$，$∠ ABC = 2∠ C$，点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上，且 $BD = AB$，连接 $AD$.
（1）求证：$AD$ 是 $\odot O$ 的切线.
（2）当 $AB = 5$，$AC = 8$ 时，求 $BC$ 的长及 $\odot O$ 的半径.

答案：
22. 解析（1）证明：连接$AO$并延长交$\odot O$于点$E$，连接$BE$，如图，$\because BD = AB$，$\therefore ∠ D=∠ BAD$，$\therefore ∠ ABC=∠ D+∠ BAD = 2∠ BAD$.$\because ∠ ABC = 2∠ C$，$\therefore ∠ C=∠ BAD$.$\because ∠ E=∠ C$，$\therefore ∠ E=∠ BAD$.（2分）$\because AE$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ABE = 90°$，$\therefore ∠ E+∠ BAE = 90°$，$\therefore ∠ BAD+∠ BAE = 90°$，即$∠ DAE = 90°$，$\therefore AE⊥ AD$.$\because AE$为$\odot O$的直径，$\therefore AD$是$\odot O$的切线.（4分）

（2）过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H$，如图，$\because ∠ D=∠ C=∠ BAD$，$\therefore AD = AC = 8$.$\because ∠ BAD=∠ C$，$∠ ADB=∠ CDA$，$\therefore △ DAB∽△ DCA$，$\therefore DB:DA = DA:DC$，即$5:8 = 8:DC$，解得$DC=\frac{64}{5}$，$\therefore BC=\frac{64}{5}-5=\frac{39}{5}$.$\because AD = AC$，$AH⊥ CD$，$\therefore CH=\frac{1}{2}CD=\frac{32}{5}$.$\therefore$在$Rt△ ACH$中，$AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{8^{2}-(\frac{32}{5})^{2}}=\frac{24}{5}$.（6分）$\because AE$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ABE = 90°$.$\because ∠ E=∠ C$，$∠ ABE=∠ AHC = 90°$，$\therefore △ ABE∽△ AHC$，$\therefore AE:AC = AB:AH$，即$AE:8 = 5:\frac{24}{5}$，解得$AE=\frac{25}{3}$，$\therefore \odot O$的半径为$\frac{25}{6}$.（8分）