2026年5年中考3年模拟九年级数学下册人教版第75页解析答案——零五网—

23. 「2024 江西九江修水二模」（10 分）如图 1，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘 $A$ 中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘 $B$ 中放置一定质量的砝码，使得天平平衡. 改变活动托盘 $B$ 与点 $O$ 的距离 $x(\mathrm{cm})$，观察活动托盘 $B$ 中砝码的质量 $y(\mathrm{g})$ 的变化情况. 实验数据记录如表：

（1）把表中 $x$，$y$ 的各组对应值作为点的坐标，如 $(10,30)$，$(15,20)$，$···$，在图 2 的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点.
（2）观察所画的图象，猜测 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系，求出函数关系式.
（3）当砝码的质量为 $16\mathrm{g}$ 时，活动托盘 $B$ 与点 $O$ 的距离是多少？

答案：
23. 解析（1）由题意描点、连线，可画出图象如下：

（2分）（2）猜测$y$与$x$之间的函数关系为反比例函数关系，（4分）设函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠ 0,x＞ 0)$，$\because$当$x = 10$时，$y = 30$，$\therefore 30=\frac{k}{10}$，解得$k = 300$，$\therefore$函数关系式为$y=\frac{300}{x}(x＞ 0)$（经验证，其他点也满足此函数关系式）.（6分）（3）当$y = 16$时，$16=\frac{300}{x}$，解得$x=\frac{75}{4}$.答：活动托盘$B$与点$O$的距离是$\frac{75}{4}cm$.（10分）

24. 「2025 江苏盐城一模」（12 分）图 1 是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受此模型的启发，我们研究如下问题：如图 2，在 $△ ABC$ 中，$∠ A = 90°$，将线段 $BC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $BD$，作 $DE⊥ AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$，连接 $CD$ 并延长交 $AB$ 的延长线于点 $F$.
（1）若 $AB = 2$，$AC = 6$，求线段 $EF$ 的长.
（2）在（1）的条件下，连接 $CE$ 交 $BD$ 于点 $N$，求 $\dfrac{BN}{BC}$ 的值.
（3）在（1）的条件下，在直线 $AB$ 上找点 $P$，使 $\sin∠ BCP = \dfrac{3}{5}$，直接写出线段 $BP$ 的长度.

答案：
24. 解析（1）$\because ∠ CBD = 90°$，$\therefore ∠ ABC+∠ DBE = 90°$，$\because ∠ A = 90°$，$\therefore ∠ ABC+∠ ACB = 90°$，$\therefore ∠ DBE=∠ ACB$.又$\because ∠ A=∠ DEB = 90°$，$CB = BD$，$\therefore △ ABC≌△ EDB(AAS)$，$\therefore DE = AB$，$BE = AC$.（2分）$\because AB = 2$，$AC = 6$，$\therefore DE = 2$，$BE = 6$，$\therefore AE = AB + BE = 2 + 6 = 8$.$\because ∠ DEB+∠ A = 180°$，$\therefore DE// AC$，$\therefore △ DEF∽△ CAF$，（3分）$\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{EF}{FA}$，$\therefore \frac{2}{6}=\frac{EF}{EF + 8}$，解得$EF = 4$.（4分）（2）如图，过点$N$作$NM⊥ AF$于点$M$，

$\because ∠ A=∠ CBD=∠ BMN = 90°$，$\therefore ∠ ABC+∠ ACB = 90°$，$∠ ABC+∠ NBM = 90°$，$\therefore ∠ ACB=∠ NBM$，$\therefore △ ABC∽△ MNB$，$\therefore \frac{BN}{BC}=\frac{BM}{AC}=\frac{MN}{AB}$，即$\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{6}=\frac{MN}{2}$，$\therefore MN=\frac{1}{3}BM$.（5分）$\because MN// AC$，$\therefore △ EMN∽△ EAC$，$\therefore \frac{ME}{AE}=\frac{MN}{AC}$.（6分）设$BM = x$，则$ME = BE - BM = 6 - x$，$MN=\frac{1}{3}x$，$\therefore \frac{6 - x}{8}=\frac{\frac{1}{3}x}{6}$，解得$x=\frac{54}{13}$，$\therefore \frac{BN}{BC}=\frac{BM}{AC}=\frac{\frac{54}{13}}{6}=\frac{9}{13}$.（8分）（3）$BP$的长度为$4$或$\frac{20}{3}$.（12分）详解：如图1，当$P$在$B$点的左侧时，过点$P$作$PQ⊥ BC$于点$Q$，$\because \sin∠ BCP=\frac{3}{5}$，$\therefore \frac{PQ}{CP}=\frac{3}{5}$.设$PQ = 3a$，则$CP = 5a$，$\therefore CQ=\sqrt{(5a)^{2}-(3a)^{2}} = 4a$，$\because AC = 6$，$AB = 2$，$∠ BAC = 90°$，$\therefore \tan∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{2}=3$，$BC=\sqrt{2^{2}+6^{2}} = 2\sqrt{10}$，$\because \tan∠ PBQ=\tan∠ ABC=\frac{PQ}{BQ}=3$，$\therefore BQ=\frac{1}{3}PQ = a$，$\therefore BC = CQ + BQ = 4a + a = 5a$，即$5a = 2\sqrt{10}$，解得$a=\frac{2\sqrt{10}}{5}$.在$Rt△ PBQ$中，$PQ = 3a$，$BQ = a$，$\therefore BP=\sqrt{PQ^{2}+BQ^{2}}=\sqrt{10}a=\sqrt{10}×\frac{2\sqrt{10}}{5}=4$.

如图2，当$P$在$B$点的右侧时，过点$P$作$PT⊥ BC$交$CB$的延长线于点$T$，$\because ∠ ABC=∠ PBT$，$∠ A=∠ T = 90°$，$\therefore ∠ BPT=∠ ACB$，$\because \tan∠ ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}$，$\therefore \tan∠ BPT=\frac{BT}{PT}=\tan∠ ACB=\frac{1}{3}$.设$BT = b$，则$PT = 3b$，$\therefore BP=\sqrt{10}b$，$\because \sin∠ BCP=\frac{3}{5}$，$\therefore \tan∠ BCP=\frac{3}{4}=\frac{PT}{CT}$，即$\frac{3b}{2\sqrt{10}+b}=\frac{3}{4}$，解得$b=\frac{2\sqrt{10}}{3}$，$\therefore BP=\sqrt{10}b=\sqrt{10}×\frac{2\sqrt{10}}{3}=\frac{20}{3}$.

综上所述，$BP$的长度为$4$或$\frac{20}{3}$.