4. 「2025 江西中考」综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的
旋
转
放
缩
问题展开探究.
特例研究
在正方形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O.
(1)如图 1，△ADC 可以看成是由△AOB 绕点 A 逆时针旋转并放大 k 倍得到的，此时旋转角的度数为
45°
，k 的值为
√2
.
(2)如图 2，将△AOB 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 α，并放大得到△AEF(点 O，B 的对应点分别为点 E，F)，使得点 E 落在 OD 上，点 F 落在 BC 上，求$\frac{BF}{OE}$的值.
类比探究
(3)如图 3，在菱形 ABCD 中，∠ABC = 60°，O 是 AB 的垂直平分线与 BD 的交点，将△AOB 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 α，并放缩得到△AEF(点 O，B 的对应点分别为点 E，F)，使得点 E 落在 OD 上，点 F 落在 BC 上.猜想$\frac{BF}{OE}$的值是否与 α 有关，并说明理由.
(4)若(3)中∠ABC = β，其余条件不变，探究 BA，BE，BF 之间的数量关系(用含 β 的式子表示).
答案：4. 解析 (1)$45°$；$\sqrt{2}$. (2)根据题意，得 $△ AEF∽△ AOB$. $\therefore ∠ EAF = ∠ OAB$，$\frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AO}$，$\therefore ∠ FAB = ∠ EAO$，$\frac{AF}{AE} = \frac{AB}{AO}$. $\therefore △ AFB∽△ AEO$. $\therefore \frac{BF}{OE} = \frac{AB}{AO}$. $\because ∠ OAB = 45°$，$∠ AOB = 90°$，$\therefore \frac{AB}{AO} = \sqrt{2}$，$\therefore \frac{BF}{OE} = \frac{AB}{AO} = \sqrt{2}$. (3)$\frac{BF}{OE}$ 的值与 $α$ 无关.理由：过点 $O$ 作 $OG⊥ AB$，垂足为点 $G$，如图，
同(2)可证 $△ AFB∽△ AEO$，$\therefore \frac{BF}{OE} = \frac{AB}{AO}$. $\because$ 菱形 $ABCD$ 中，$∠ ABC = 60°$，$\therefore ∠ ABO = 30°$. $\because$ 点 $O$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，$\therefore AO = BO$，$\therefore ∠ BAO = ∠ ABO = 30°$，$AB = 2BG$，$\therefore \cos∠ ABO = \frac{BG}{OB} = \frac{BG}{OA} = \cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore \frac{AB}{OA} = \sqrt{3}$，$\therefore \frac{BF}{OE} = \frac{AB}{AO} = \sqrt{3}$. $\therefore \frac{BF}{OE}$ 的值与 $α$ 无关. (4)方法一：易知 $∠ BAO = ∠ ABO = ∠ CBD = \frac{β}{2}$，$\frac{BF}{OE} = \frac{AB}{OA} = 2\cos\frac{β}{2}$. $\therefore BF = OE·2\cos\frac{β}{2}$，$BA = OB·2\cos\frac{β}{2}$. $\because BE = OE + OB$，$\therefore BF + BA = OE·2\cos\frac{β}{2} + OB·2\cos\frac{β}{2} = 2(OE + OB)·\cos\frac{β}{2} = 2BE·\cos\frac{β}{2}$.即 $BF + BA = 2BE·\cos\frac{β}{2}$.方法二：如图，过点 $E$ 分别作 $BA$，$BC$ 的垂线，垂足分别为点 $M$，$N$.
$\because$ 点 $O$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，$\therefore AO = BO$. $\because BD$ 平分 $∠ ABC$，$\therefore EM = EN$. $\because △ AEF$ 由 $△ AOB$ 旋转放缩得到，$\therefore EA = EF$，$\therefore Rt△ AEM≌ Rt△ FEN(HL)$，$\therefore AM = FN$. $\because BE = BE$，$EM = EN$，$\therefore Rt△ MBE≌ Rt△ NBE(HL)$，$\therefore BM = BN$，$\therefore BA + BF = AM + BM + BN - NF = BM + BN = 2BM$.由题可知，$∠ ABO = \frac{β}{2}$，在 $Rt△ BEM$ 中，$BM = BE·\cos\frac{β}{2}$，$\therefore BA + BF = 2BM = 2BE·\cos\frac{β}{2}$.方法三：$\because$ 点 $O$ 是 $AB$ 的垂直平分线与 $BD$ 的交点，$\therefore OA = OB$，$\therefore ∠ OAB = ∠ OBA = ∠ OBC$. $\because △ AOB$ 绕点 $A$ 旋转并放缩得到 $△ AEF$，$\therefore ∠ AEF = ∠ AOB$，$EA = EF$. $\because ∠ AOB + ∠ ABO + ∠ BAO = 180°$，$\therefore ∠ AEF + ∠ ABF = 180°$. $\therefore ∠ EAB + ∠ EFB = 180°$.如图，将 $△ BEF$ 绕点 $E$ 顺时针旋转，使点 $F$ 的对应点为点 $A$，设此时点 $B$ 的对应点为点 $B'$，
$\therefore ∠ EAB' = ∠ EFB$，$EB' = EB$，$AB' = FB$. $\therefore ∠ EAB + ∠ EAB' = 180°$. $\therefore$ 点 $B$，$A$，$B'$ 在同一直线上，$\therefore BA + BF = BB'$.作 $EG⊥ AB$ 交 $AB$ 于点 $G$，$\therefore BG = \frac{1}{2}BB' = \frac{1}{2}(BA + BF)$. $\because \cos∠ EBG = \frac{BG}{BE}$，$\therefore BG = BE·\cos∠ EBG$. $\therefore BA + BF = 2BE·\cos\frac{β}{2}$.
