19. [2025 山东威海中考] 如图，已知抛物线$ y=ax^2 + bx - 3 $交 x 轴于点 A(-1,0)，点 B，交 y 轴于点 C.点 C 向右平移 2 个单位长度得到点 D，点 D 在抛物线$ y=ax^2 + bx - 3 $上.点 E 为抛物线的顶点.
(1) 求抛物线的表达式及顶点 E 的坐标.
(2) 连接 BC，点 M 是线段 BC 上一动点，连接 OM，作射线 CD.
①在射线 CD 上取一点 F，使 CF=CO，连接 FM.当 OM + FM 的值最小时，求点 M 的坐标.
②点 N 是射线 CD 上一动点，且满足 CN=CM.作射线 CE，在射线 CE 上取一点 G，使 CG=CO.连接 GN，BN.求 OM + BN 的最小值.
(3) 点 P 在抛物线$ y=ax^2 + bx - 3 $的对称轴上，若$ ∠OAP + ∠OCA=45° $，则点 P 的坐标为
(1, 1)或(1, -1)
.
答案：19.解析 (1)由题意得C(0, -3)，D(2, -3)，
将A(-1, 0)和D(2, -3)代入y = ax² + bx - 3，
得$\begin{cases}a - b - 3 = 0 \\ 4a + 2b - 3 = -3\end{cases}$，
∴ $\begin{cases}a = 1 \\ b = -2\end{cases}$，
∴ 抛物线的表达式为y = x² - 2x - 3，
∵ y = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4，
∴ E(1, -4).
(2)①连接OF，BF(图略).
∵ C(0, -3)，D(2, -3)，
∴ CD ⊥ OC，
∵ CF = CO = 3，
∴ F(3, -3)，
令x² - 2x - 3 = 0，解得x₁ = -1，x₂ = 3，
∴ B(3, 0)，
∴ BF ⊥ OB，
又
∵ ∠BOC = ∠OCF = 90°，CF = CO，
∴ 四边形BOCF是正方形，
∵ OM + FM ≥ OF，
∴ 当O，M，F三点共线，即M是正方形BOCF两条对角线的交点时，OM + FM的值最小，
此时M($\frac{3}{2}$, -$\frac{3}{2}$).
②如图,过点E作EH⊥CN于点H,连接BG,
∵ E(1, -4)，C(0, -3)，
∴ EH = CH = 1，
∴ ∠ECH = ∠CEH = 45°，
易知∠BCO = 45°，
∴ ∠ECH = ∠BCO，
∵ CG = CO，CN = CM，
∴ △GCN ≌ △OCM(SAS)，
∴ NG = OM，
∴ OM + BN = NG + BN ≥ BG，
∴ 当B，N，G三点共线时，OM + BN的值最小，
∵ ∠BCH = 90° - ∠BCO = 45°，∠ECH = 45°，
∴ ∠BCG = 90°，
又
∵ BC = $\sqrt{3² + 3²}$ = 3$\sqrt{2}$，CG = OC = 3，
∴ BG = $\sqrt{(3\sqrt{2})² + 3²}$ = 3$\sqrt{3}$
∴ OM + BN的最小值为3$\sqrt{3}$.
(3)(1, 1)或(1, -1).
详解:设EP交AB于Q，连接BC，CQ，过点Q作QW⊥BC于W，图略，
∵ E(1, -4)，
∴ Q(1, 0)，
∵ A(-1, 0)，
∴ OA = OQ = 1，
∵ OC⊥AQ，
∴ AC = QC，
∴ ∠QCO = ∠OCA，
易知∠OCB = 45°，
∴ ∠QCO + ∠BCQ = 45°，
∵ ∠OAP + ∠OCA = 45°，
∴ ∠OAP = ∠BCQ，
∵ BQ = OB - OQ = 2，∠OBC = 45°，
∴ QW = BW = $\sqrt{2}$，
∵ BC = 3$\sqrt{2}$，
∴ CW = BC - BW = 2$\sqrt{2}$，
∴ tan∠OAP = tan∠BCQ = $\frac{QW}{CW}$ = $\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{PQ}{AQ}$ = $\frac{1}{2}$，
∴ PQ = $\frac{1}{2}$AQ = 1，
∴ P(1, 1)或(1, -1).
方法解读(2)①根据OM + FM ≥ OF可得，当点O，M，F共线时，OM + FM的值最小，通过证明四边形BOCF是正方形，求得点M的坐标.
②作EH⊥CN于H，可证得△GCN ≌ △OCM，从而得NG = OM，进而得出OM + BN = NG + BN ≥ BG，根据∠BCG = 90°，BC = 3$\sqrt{2}$，CG = 3求出BG的长，进而得出OM + BN的最小值.
(3)设EP交AB于Q，连接BC，CQ，过点Q作QW⊥BC于W，通过证明∠OAP = ∠BCQ，得出tan∠OAP = tan∠BCQ = $\frac{QW}{CW}$ = $\frac{1}{2}$，从而得$\frac{PQ}{AQ}$ = $\frac{1}{2}$，进而求得点P的坐标.
